Na Seção 15.8, declarei que a matriz correspondente a uma rotação pura tem a forma do bloco (15.44). Verifique esta declaração expressando as componentes separadamente da equação e mostrando que a parte espacial é rotacionada, enquanto é inalterado.

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é o problema. A questão pede para verificar que a matriz de dimensão , que representa uma rotação pura no espaço-tempo, tem uma forma específica conhecida como bloco (15.44). Para resolver isso, vamos precisar entender como as rotações puras são representadas em matrizes e como elas atuam nos vetores de coordenadas .

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação de transformação das coordenadas:
Aqui, é o vetor de coordenadas original e é o vetor de coordenadas após a rotação.

Passo 3

A matriz para uma rotação pura deve deixar a componente temporal inalterada e apenas rotacionar as componentes espaciais . Isso significa que a matriz deve ter a seguinte estrutura:
Onde é uma matriz de rotação que atua nas componentes espaciais, e é um vetor coluna de zeros.

Passo 4

Vamos aplicar essa matriz ao vetor :
Isso mostra que as componentes são transformadas pela matriz de rotação , enquanto permanece igual.

Passo 5

Como é uma matriz de rotação pura, ela preserva o comprimento dos vetores espaciais e apenas altera suas direções. Portanto, a parte espacial é efetivamente rotacionada sem afetar .

Resposta

A matriz correspondente a uma rotação pura no espaço-tempo tem a seguinte forma em blocos:
Onde é a matriz de rotação que atua nas componentes espaciais , e a componente temporal permanece inalterada.

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