Verifique se a força gravitacional
sobre uma massa pontual
, devido a um massa pontual fixa
na origem, é conservativa e calcule a energia potencial correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a força gravitacional dada por
, que age sobre uma massa pontual
na posição
devido a uma massa pontual fixa
na origem, é uma força conservativa. Além disso, precisamos calcular a energia potencial associada a essa força. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma força conservativa e como relacioná-la à energia potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma força conservativa. Uma força é considerada conservativa se o trabalho realizado por ela em um movimento que começa e termina no mesmo ponto for zero. Além disso, para forças conservativas, podemos definir uma energia potencial que depende apenas da posição.
Passo 3
A força gravitacional que estamos analisando é dada por:
Aqui,
é a constante gravitacional,
e
são as massas,
é a distância entre as massas, e
é o vetor unitário na direção de
.
Para verificar se essa força é conservativa, podemos observar que ela depende apenas da posição
e é derivada de um potencial escalar. Além disso, sabemos da física que a força gravitacional Newtoniana é uma força conservativa.
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia potencial correspondente a essa força. Sabemos que a energia potencial
está relacionada à força por:
Para uma força radial, podemos integrar para encontrar a energia potencial:
Onde
é a constante de integração. Geralmente, escolhemos
para que a energia potencial vá a zero quando
tende ao infinito.
Resposta
A força gravitacional
é uma força conservativa, e a energia potencial correspondente é dada por: