Verifique se a força gravitacional sobre uma massa pontual , devido a um massa pontual fixa na origem, é conservativa e calcule a energia potencial correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a força gravitacional dada por , que age sobre uma massa pontual na posição devido a uma massa pontual fixa na origem, é uma força conservativa. Além disso, precisamos calcular a energia potencial associada a essa força. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma força conservativa e como relacioná-la à energia potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma força conservativa. Uma força é considerada conservativa se o trabalho realizado por ela em um movimento que começa e termina no mesmo ponto for zero. Além disso, para forças conservativas, podemos definir uma energia potencial que depende apenas da posição.

Passo 3

A força gravitacional que estamos analisando é dada por:
Aqui, é a constante gravitacional, e são as massas, é a distância entre as massas, e é o vetor unitário na direção de .
Para verificar se essa força é conservativa, podemos observar que ela depende apenas da posição e é derivada de um potencial escalar. Além disso, sabemos da física que a força gravitacional Newtoniana é uma força conservativa.

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial correspondente a essa força. Sabemos que a energia potencial está relacionada à força por:
Para uma força radial, podemos integrar para encontrar a energia potencial:
Onde é a constante de integração. Geralmente, escolhemos para que a energia potencial vá a zero quando tende ao infinito.

Resposta

A força gravitacional é uma força conservativa, e a energia potencial correspondente é dada por:

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