*49. Em um tubo de imagens de um televisor, os elétrons são acelerados a partir do repouso atravessando uma diferença de potencial V. Imediatamente antes de um elétron colidir com a tela, seu comprimento de onda de De Broglie é igual a 0,900 \times 10^{-11} \mathrm{~m}. Qual a diferença de potencial?

Passo 1

O enunciado diz que elétrons partem do repouso e são acelerados por uma diferença de potencial V, adquirindo antes de atingir a tela um comprimento de onda de De Broglie
\lambda = 0{,}900\times10^{-11}\,\mathrm{m}.
O conteúdo que vamos usar é: conservação de energia (energia potencial elétrica convertida em energia cinética) e a relação de De Broglie entre comprimento de onda e momento.

Passo 2

Pela conservação de energia, a energia cinética final do elétron é igual à energia fornecida pela diferença de potencial:
K = e\,V,
onde e é a carga do elétron.

Passo 3

A relação de De Broglie liga o comprimento de onda \lambda ao momento linear p do elétron:
p = \frac{h}{\lambda},
sendo h a constante de Planck.

Passo 4

Em regime não relativístico, a energia cinética também vale
K = \frac{p^{2}}{2m},
com m massa do elétron. Igualando as duas expressões para K e isolando V, obtemos
e\,V = \frac{p^{2}}{2m} \quad\Longrightarrow\quad V = \frac{p^{2}}{2m\,e} = \frac{h^{2}}{2m\,e\,\lambda^{2}}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
h = 6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s},\quad m = 9{,}109\times10^{-31}\,\mathrm{kg},\quad e = 1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C},\quad \lambda = 0{,}900\times10^{-11}\,\mathrm{m},
temos
V = \frac{(6{,}626\times10^{-34})^{2}} {2\,(9{,}109\times10^{-31})\,(1{,}602\times10^{-19})\,(0{,}900\times10^{-11})^{2}}.

Passo 6

Calculando
V \approx 1{,}86\times10^{4}\,\mathrm{V}.
Ou seja, a diferença de potencial necessária é da ordem de 1{,}9\times10^{4}\,\mathrm{V}.

Resposta

V \approx 1{,}86\times10^{4}\,\mathrm{V}.

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