Utilize a fórmula de recursão (Equação 4.76) para confirmar que quando
a função de onda radial toma a seguinte forma:
e determine a normalização constante
por integração direta.
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A questão pede para a gente usar a fórmula de recursão (Equação 4.76) para mostrar que, quando
, a função de onda radial
fica na forma
. Depois, precisamos encontrar a constante de normalização
fazendo uma integração direta. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda radiais e normalização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. No contexto das funções de onda do átomo de hidrogênio,
é o número quântico principal e
é o número quântico azimutal. Quando
, estamos falando do estado com o maior momento angular possível para aquele nível energético.
Passo 3
A função de onda radial geral para o átomo de hidrogênio é dada por:
onde
e
são os polinômios de Laguerre associados. Mas quando
, isso simplifica bastante porque o polinômio de Laguerre
.
Passo 4
Substituindo
na expressão geral, temos:
Simplificando os fatores constantes dentro das potências, podemos reescrever essa expressão como:
Isso confirma a forma que a questão nos pediu.
Passo 5
Agora, vamos determinar a constante de normalização
. Para isso, usamos a condição de normalização das funções de onda radiais:
Substituindo
na integral:
Simplificando os expoentes:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Sabemos que:
onde
é a função gama, que para inteiros é
. Então, aplicando isso à nossa integral:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à condição de normalização:
Resolvendo para
:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados (e considerando que
é positivo):
Resposta
A constante de normalização é: