Utilize a fórmula de recursão (Equação 4.76) para confirmar que quando a função de onda radial toma a seguinte forma:
e determine a normalização constante por integração direta.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A questão pede para a gente usar a fórmula de recursão (Equação 4.76) para mostrar que, quando , a função de onda radial fica na forma . Depois, precisamos encontrar a constante de normalização fazendo uma integração direta. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda radiais e normalização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . No contexto das funções de onda do átomo de hidrogênio, é o número quântico principal e é o número quântico azimutal. Quando , estamos falando do estado com o maior momento angular possível para aquele nível energético.

Passo 3

A função de onda radial geral para o átomo de hidrogênio é dada por:
onde e são os polinômios de Laguerre associados. Mas quando , isso simplifica bastante porque o polinômio de Laguerre .

Passo 4

Substituindo na expressão geral, temos:
Simplificando os fatores constantes dentro das potências, podemos reescrever essa expressão como:
Isso confirma a forma que a questão nos pediu.

Passo 5

Agora, vamos determinar a constante de normalização . Para isso, usamos a condição de normalização das funções de onda radiais:
Substituindo na integral:
Simplificando os expoentes:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Sabemos que:
onde é a função gama, que para inteiros é . Então, aplicando isso à nossa integral:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à condição de normalização:
Resolvendo para :
Tomando a raiz quadrada dos dois lados (e considerando que é positivo):

Resposta

A constante de normalização é:

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