O vetor desconhecido
satisfaz
e
, onde
e
são fixos e conhecidos. Determine
em termos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor desconhecido
que satisfaz duas condições: o produto escalar com
é igual a
(
) e o produto vetorial com
é igual a
(
). Nosso objetivo é achar
usando esses dados. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre produtos escalar e vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor
pode ser decomposto em duas partes: uma paralela a
e outra perpendicular a
. Então, podemos escrever:
onde
é um escalar e
é um vetor perpendicular a
(
).
Passo 3
Vamos usar a primeira condição:
. Substituindo
na equação:
Como
é perpendicular a
,
. Então:
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda condição:
. Substituindo
:
Sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero, então
. Portanto:
Passo 5
Como
é perpendicular a
, podemos encontrar
relacionando-o com
. Sabemos que:
Isso porque ao fazer o produto vetorial de
com
, queremos obter
, e essa expressão garante que a relação seja satisfeita.
Resposta
Juntando tudo, o vetor
é dado por: