O vetor desconhecido satisfaz e , onde e são fixos e conhecidos. Determine em termos de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor desconhecido que satisfaz duas condições: o produto escalar com é igual a ( ) e o produto vetorial com é igual a ( ). Nosso objetivo é achar usando esses dados. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre produtos escalar e vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor pode ser decomposto em duas partes: uma paralela a e outra perpendicular a . Então, podemos escrever:
onde é um escalar e é um vetor perpendicular a ( ).

Passo 3

Vamos usar a primeira condição: . Substituindo na equação:
Como é perpendicular a , . Então:

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda condição: . Substituindo :
Sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero, então . Portanto:

Passo 5

Como é perpendicular a , podemos encontrar relacionando-o com . Sabemos que:
Isso porque ao fazer o produto vetorial de com , queremos obter , e essa expressão garante que a relação seja satisfeita.

Resposta

Juntando tudo, o vetor é dado por:

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