Se y=e^2 x+4 x^3-8 x for a verdadeira relação entre duas variáveis x e y, qual é a cota superior do valor absoluto do erro de truncamento cometido ao realizar uma interpolação quadrática em x=1,4 usando os pontos $
c|ccc 1 1,5 2
& 1 & 1,5 & 2 hline 3,3891 21,5855 70,5982
$?
(A) 6,6406
(B) 1,8431
C
0,8448
(D) 3,6032
(E) 11,7934

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a função
y = e^2x + 4x^3 - 8x
e queremos interpolar essa curva por um polinômio de grau 2 nos pontos x0=1, x1=1,5 e x2=2, avaliando o erro de truncamento em x=1,4.
Conteúdo: interpolação polinomial e fórmula do resto (erro) de Taylor/Interp. Vamos precisar da terceira derivada de f(x) e do teorema do resto para polinômio interpolador.

Passo 2

A fórmula do resto da interpolação quadrática é
R2(x) ;=;f^(3)(xi)3!,(x-x0)(x-x1)(x-x2)
Para cota superior, tomamos
|R2(x)| <= M3!,l| (x-x0)(x-x1)(x-x2)r|
onde M = maxxiin[1,2]|f^(3)(xi)|.

Passo 3

Calcular as derivadas de f(x)=e^2x+4x^3-8x:
  1. f'(x)=2e^2x+12x^2-8
  2. f''(x)=4e^2x+24x
  3. f^(3)(x)=8e^2x+24

Passo 4

Precisamos de M=maxxin[1,2](8e^2x+24). Como 8e^2x+24 cresce (derivada positiva), o valor máximo é em x=2:
M = f^(3)(2) = 8e^4+24 approx 8cdot54,598+24 = 436,784+24 = 460,784

Passo 5

Calcular o produto dos fatores em x=1,4:
(1,4-1)(1,4-1,5)(1,4-2) = 0,4cdot(-0,1)cdot(-0,6) = 0,024

Passo 6

Agora a cota do erro:
|R2(1,4)| <= M3!,0,024 = 460,7846times0,024 approx 76,7973times0,024 approx 1,8431

Resposta

A cota superior do erro de truncamento é aproximadamente 1,8431, ou seja, alternativa (B).

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