Foram coletados os seguintes dados para a distância percorrida em função do tempo para um foguete:

Dados

t(s) 0 25 50 75 100 125
y(km) 0 32 58 78 92 100
Use derivação numérica para obter estimativas da velocidade e da aceleração em cada instante. Para isso, interpole os seus resultados.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente pegar os dados de posição vi approx yi+1-yi-1ti+1-ti-1 em função do tempo v0 approx y1-y0t1-t0, vn approx yn-yn-1tn-tn-1 e estimar, por derivação numérica (isto é, diferenças finitas), a velocidade e a aceleração em cada instante.
Conteúdo:
• Derivada numérica por diferenças finitas (forward, backward e central).
• Como usar as fórmulas para pontos internos (central) e nas “pontas” (forward/backward).
O que precisamos:
  1. A fórmula da diferença central para primeira derivada:
e, nas extremidades, a diferença forward/backward:
  1. Repetir o mesmo para usando os .

Passo 2

Calcular a velocidade em cada v0 = y1 - y0t1 - t0 = 32-025-0 = 1,28 km/s .
Dados em km e s.
Para vi = yi+1-yi-1ti+1-ti-1 (forward):
v25 = y50-y050-0 = 58-050 = 1,16 km/s
Para pontos internos ( v125 = y5 - y4t5 - t4 = 100-92125-100 = 0,32 km/s ), usamos diferença central:
Por exemplo, em :
Calculando todos:
: km/s
: km/s
: km/s
E em (backward):

Passo 3

Agora a aceleração, derivando a0 = v1 - v0t1 - t0 = 1,16 - 1,2825 = -0,0048 km/s^2 do mesmo jeitinho.
Para ai = vi+1-vi-1ti+1-ti-1 (forward):
a25 = v50-v050-0 = 0,92 - 1,2850 = -0,0072 km/s^2
Para pontos internos ( a125 = v125-v100125-100 = 0,32 - 0,4425 = -0,0048 km/s^2 ), diferença central:
Por exemplo, em :
Calculando todos:
: km/s²
: km/s²
: km/s²
E em (backward):

Resposta

Valores estimados de velocidade (km/s) e aceleração (km/s²) em cada instante:
t(s) | v(km/s) | a(km/s²)
0 | 1,28 | –0,0048
25 | 1,16 | –0,0072
50 | 0,92 | –0,0096
75 | 0,68 | –0,0096
100 | 0,44 | –0,0072
125 | 0,32 | –0,0048

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