Uma força eletromotriz (fem) de 10 volts é aplicada a um circuito em série LR, no qual a indutância é de 2 henry e a resistência 25 ohms, considerando que a corrente i(t) (em amperes) é a solução do problema de valor inicial
c 2 cdot i^prime+25 cdot i=10 i(0)=0
Qual é o valor aproximado da corrente após 0,1 segundos?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma resumida no que o enunciado pede. A gente tem um circuito série LR (indutor L = 2 H e resistor R = 25 Ω) ligado a uma fem de 10 V. A corrente i(t) satisfaz a EDO:
2,i'(t) + 25,i(t) = 10, i(0)=0
Conteúdo envolvido: equação diferencial linear de 1º ordem (tema de Circuitos RL e de EDOs). Para resolver precisamos saber como padronizar uma EDO linear, usar fator integrante, achar a solução geral e impor a condição inicial.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
i'(t) + 252,i(t) = 102 = 5
Aqui reconhecemos que é do tipo , com e .

Passo 3

A técnica do fator integrante diz que a gente multiplica a equação por
mu(t) = e^integral P,dt = e^integral 252,dt = e^252,t
Isso transforma o lado esquerdo em derivada de produto:
mu(t),i' + mu(t),P,i = ddtl(mu(t),i(t)r)

Passo 4

Multiplicando a EDO padrão por e^252t,i' + 252,e^252t,i = 5,e^252t Longrightarrow ddtl(e^252t,i(t)r) = 5,e^252t :
Agora basta integrar ambos os lados em relação a .

Passo 5

Integramos:
e^252t,i(t) = integral 5,e^252t,dt = 5 cdot 225,e^252t + C = 1025,e^252t + C = 0.4,e^252t + C
Logo
i(t) = 0.4 + C,e^-252t

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial 0 = i(0) = 0.4 + C,e^0 ;Longrightarrow; C = -0.4 :
boxedi(t) = 0.4l(1 - e^-12.5,tr)
Então a solução final é

Passo 7

Só falta calcular i(0.1) = 0.4l(1 - e^-12.5cdot0.1r) = 0.4l(1 - e^-1.25r) :
i(0.1)approx 0.4,(1 - 0.2865) = 0.4 times 0.7135 approx 0.2854;A
Sabendo que , temos

Resposta

A corrente após 0,1 s é aproximadamente A.

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