Uma indústria química registra em um instante t0=0 um tanque contendo 150 litros de uma solução com 2 gramas de um certo soluto por litro. Nesse tanque, água pura entra à razão de 3I / m i n e uma mistura homogênea sai na mesma razão. Considere que a quantidade do soluto Q ( t ) (em gramas) é a solução do problema de valor inicial
c Q^prime=-3 Q150 Q(0)=150 l cdot 2 g=300 g
Quanto tempo transcorre, aproximadamente, até que a concentração de corante atinja 4 % da concentração original? Dica: Resolva o PVI e encontre t1 tal que Q(t1)=1 2 g.

Passo 1

Beleza, aqui o exercício diz que temos um tanque com 150 L de solução contendo 2 g de soluto por litro em Q'(t) = -dfrac3150,Q(t), Q(0)=300 g, . Entra água pura a 3 L/min e sai a mesma vazão, então a quantidade de soluto varia segundo a equação
e a gente quer saber quando a concentração chegará a 4% da original, ou seja g. Isso é um PVI (problema de valor inicial) com equação diferencial de decaimento exponencial – vamos precisar usar separação de variáveis, integrar, achar a constante e depois resolver para .

Passo 2

Separação de variáveis é quando a gente escreve todos os Q' = dQdt = -3150,Q Longrightarrow dQQ = -3150,dt de um lado e todo o do outro:
A ideia é integrar ambos os lados: esquerda em , direita em .

Passo 3

Integramos:
integral dQQ = integral -3150,dt Longrightarrow ln|Q| = -3150,t + C,
onde é a constante de integração.

Passo 4

Exponenciamos para resolver para Q(t) = e^ln|Q| = e^-3150t + C = e^C,e^-3150t :
Q(t) = A,e^-3150t
Chamando , ficamos com

Passo 5

Agora usamos a condição inicial 300 = A,e^-3150cdot 0 = Acdot 1 Longrightarrow A=300 :
boxedQ(t) = 300,e^-3150t = 300,e^-tfract50,
Logo a solução completa é

Passo 6

A pergunta é: “quando 12 = 300,e^-tfract50 Longrightarrow e^-tfract50 = 12300 = 0,04 g?” Então fazemos
-t50 = ln(0,04) Longrightarrow t = -50,ln(0,04)
Aplicando logaritmo natural:

Passo 7

Calculando numericamente:
ln(0,04)approx -3,2189 Longrightarrow t approx -50times(-3,2189) approx 160,94 minutos

Resposta

Demora aproximadamente 161 minutos para a concentração chegar a 4% da original.

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