Uma indústria química registra em um instante
um tanque contendo 150 litros de uma solução com 2 gramas de um certo soluto por litro. Nesse tanque, água pura entra à razão de
e uma mistura homogênea sai na mesma razão. Considere que a quantidade do soluto
(em gramas) é a solução do problema de valor inicial
Quanto tempo transcorre, aproximadamente, até que a concentração de corante atinja
da concentração original? Dica: Resolva o PVI e encontre
tal que
.
Passo 1
Beleza, aqui o exercício diz que temos um tanque com 150 L de solução contendo 2 g de soluto por litro em
. Entra água pura a 3 L/min e sai a mesma vazão, então a quantidade de soluto
varia segundo a equação
e a gente quer saber quando a concentração chegará a 4% da original, ou seja
g. Isso é um PVI (problema de valor inicial) com equação diferencial de decaimento exponencial – vamos precisar usar separação de variáveis, integrar, achar a constante e depois resolver para
.
Passo 2
Separação de variáveis é quando a gente escreve todos os
de um lado e todo o
do outro:
A ideia é integrar ambos os lados: esquerda em
, direita em
.
Passo 3
Integramos:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Exponenciamos para resolver para
:
Chamando
, ficamos com
Passo 5
Agora usamos a condição inicial
:
Logo a solução completa é
Passo 6
A pergunta é: “quando
g?” Então fazemos
Aplicando logaritmo natural:
Passo 7
Calculando numericamente:
Resposta
Demora aproximadamente 161 minutos para a concentração chegar a 4% da original.