A equação diferencial para a velocidade v=v(t) de uma massa m em queda, sujeita à resistência do ar proporcional à velocidade instantânea é m v^prime=m g k v, onde k é uma constante de proporcionalidade positiva e g é a aceleração da gravidade.
Assim, para um objeto de m=5 k g e k=2 (medido experimentalmente), considerando g=9 , 8 m / s^2, calcule a velocidade desse objeto, aproximada, após 4 segundos se v(0)=0

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que temos uma massa de m,dvdt ;=; m,g ;-; k,v, ,kg caindo, sujeita à resistência do ar proporcional à velocidade com constante , e a equação diferencial é
onde ,m/s². Queremos achar sabendo que .
Conteúdo: equação diferencial linear de 1ª ordem (ou separável), fator integrante/exponencial e conhecimento de exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos pôr a ODE na forma padrão:
dvdt + km,v ;=; g
Isso é uma equação linear de 1ª ordem. A ideia do fator integrante é multiplicar tudo por
,
transformando o lado esquerdo numa derivada de produto.

Passo 3

Multiplicando por e^(k/m)t,dvdt + km,e^(k/m)t,v = g,e^(k/m)t ;Longrightarrow; ddtl(v,e^(k/m)tr) = g,e^(k/m)t :
v(t),e^(k/m)t - v(0),e^0 = gintegral0^t e^(k/m)tau,dtau = g;mkl(e^(k/m)t-1r)
Agora integramos de 0 a v(t) = m,gkl(1 - e^-(k/m),tr) :
Como ,

Passo 4

Basta botar m,gk = 5cdot9,82 = 24,5, km = 25 = 0,4 , v(4) = 24,5l(1 - e^-0,4cdot4r) = 24,5l(1 - e^-1,6r) , v(4)approx 24,5,(1 - 0,2019) approx 24,5cdot0,7981 approx 19,6 m/s :
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Calculando :

Resposta

A velocidade após 4 s é aproximadamente m/s.

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