De forma analítica, use o método iterativo de Gauss-Jacobi para resolver o seguinte sistema:
\begin{aligned} & 4 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=7 \\\ & 2 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}-x_{4}=-6 \\\ & x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3}+x_{4}=-1 \\\ & x_{1}+x_{2}+x_{3}-4 x_{4}=-1 \end{aligned} \quad \text { Considere } \mathrm{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]^{\mathrm{T}}, \text { duas casas decimais e erro }<0,01

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva o sistema linear
\begin{cases} 4x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=7,\\\\ 2x_{1}-8x_{2}+x_{3}-x_{4}=-6,\\\ x_{1}+2x_{2}-5x_{3}+x_{4}=-1,\\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}-4x_{4}=-1, \end{cases}
usando o método de Gauss–Jacobi com chute inicial \mathbf x^{(0)}=(0,0,0,0)^{\mathrm T}, mantendo duas casas decimais e parando quando
\max_{i=1,\dots,4}\bigl|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}\bigr|<0,01.

Passo 2

Para cada equação isolamos a incógnita principal em função das outras, obtendo as fórmulas iterativas de Jacobi:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{1}{4}\bigl(7 - x_{2}^{(k)} - x_{3}^{(k)} - x_{4}^{(k)}\bigr),
x_{2}^{(k+1)}=\frac{1}{-8}\bigl(-6 -2x_{1}^{(k)} - x_{3}^{(k)} + x_{4}^{(k)}\bigr) =\frac{6+2x_{1}^{(k)}+x_{3}^{(k)}-x_{4}^{(k)}}{8},
x_{3}^{(k+1)}=\frac{1}{-5}\bigl(-1 - x_{1}^{(k)} -2x_{2}^{(k)} - x_{4}^{(k)}\bigr) =\frac{1 + x_{1}^{(k)} +2x_{2}^{(k)} + x_{4}^{(k)}}{5},
x_{4}^{(k+1)}=\frac{1}{-4}\bigl(-1 - x_{1}^{(k)} - x_{2}^{(k)} - x_{3}^{(k)}\bigr) =\frac{1 + x_{1}^{(k)} + x_{2}^{(k)} + x_{3}^{(k)}}{4}.

Passo 3

Com \mathbf x^{(0)}=(0,0,0,0) aplicamos as fórmulas e arredondamos a duas casas:
x^{(1)}= \begin{pmatrix} 7/4\\\ (-6)/(-8)\\\ (-1)/(-5)\\\ (-1)/(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1,75\\\\ 0,75\\\\ 0,20\\\\ 0,25 \end{pmatrix}.
O erro inicial é \max_i|x_i^{(1)}-x_i^{(0)}|=\max(1,75,0,75,0,20,0,25)=1,75>0,01,
então continuamos.

Passo 4

Iterações k=2,3,4 e respectivos erros:
Iteração k=2:
x^{(2)}= \begin{pmatrix} 1,45\\\\ 1,18\\\\ 0,90\\\\ 0,93 \end{pmatrix},\quad \max_i|x_i^{(2)}-x_i^{(1)}|=\max(0,30,0,43,0,70,0,68)=0,70>0,01.
Iteração k=3:
x^{(3)}= \begin{pmatrix} 1,00\\\\ 1,11\\\\ 1,15\\\\ 1,13 \end{pmatrix},\quad \max_i|x_i^{(3)}-x_i^{(2)}|=0,26>0,01.
Iteração k=4:
x^{(4)}= \begin{pmatrix} 0,90\\\\ 1,00\\\\ 1,07\\\\ 1,07 \end{pmatrix},\quad \max_i|x_i^{(4)}-x_i^{(3)}|=0,11>0,01.

Passo 5

Continuamos até atingir a tolerância:
Iteração k=5:
x^{(5)}=\begin{pmatrix}0,97\\\ 0,98\\\ 0,99\\\ 0,99\end{pmatrix},\; \max|x^{(5)}-x^{(4)}|=0,08>0,01.
Iteração k=6:
x^{(6)}=\begin{pmatrix}1,01\\\ 0,99\\\ 0,98\\\ 0,99\end{pmatrix},\; \max|x^{(6)}-x^{(5)}|=0,04>0,01.
Iteração k=7:
x^{(7)}=\begin{pmatrix}1,01\\\ 1,00\\\ 1,00\\\ 1,00\end{pmatrix},\; \max|x^{(7)}-x^{(6)}|=0,02>0,01.
Iteração k=8:
x^{(8)}=\begin{pmatrix}1,00\\\ 1,00\\\ 1,00\\\ 1,00\end{pmatrix},\; \max|x^{(8)}-x^{(7)}|=0,01\quad(\text{ainda não }<0,01).ã
Iteração k=9:
x^{(9)}=\begin{pmatrix}1,00\\\ 1,00\\\ 1,00\\\ 1,00\end{pmatrix},\; \max|x^{(9)}-x^{(8)}|=0<0,01,
logo paramos aqui.

Resposta

\mathbf x\approx \begin{pmatrix} 1,00\\\\ 1,00\\\\ 1,00\\\\ 1,00 \end{pmatrix}.

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