De forma analítica, use a fatoração LU para resolver o seguinte sistema:
\begin{aligned} & 3 x_{1}-0,1 x_{2}-0,2 x_{3}=7,85 \\\ & 0,1 x_{1}+7 x_{2}-0,3 x_{3}=-19,3 \\\ & 0,3 x_{1}-0,2 x_{2}+10 x_{3}=71,4 \end{aligned} \quad \text { Obs.: use precisão dupla, ou seja, duas casas decimais }ã

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 3x_{1}-0,1x_{2}-0,2x_{3}=7,85,\\\\ 0,1x_{1}+7x_{2}-0,3x_{3}=-19,3,\\\\ 0,3x_{1}-0,2x_{2}+10x_{3}=71,4 \end{cases}
usando fatoração LU (método de Doolittle) e precisão de duas casas decimais.

Passo 2

Definimos A=L\,U, com
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ l_{21} & 1 & 0\\\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix} u_{11}&u_{12}&u_{13}\\\\ 0&u_{22}&u_{23}\\\\ 0&0&u_{33} \end{pmatrix}.
Pela primeira linha de U e primeira coluna de L:
u_{11}=a_{11}=3,\quad u_{12}=a_{12}=-0,1,\quad u_{13}=a_{13}=-0,2,
l_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{0,1}{3}=0,03,\quad l_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{0,3}{3}=0,10.

Passo 3

Pela segunda linha/coluna:
u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12} =7 - 0,03\cdot(-0,1) =7,00,
u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13} =-0,3 - 0,03\cdot(-0,2) =-0,29,
l_{32}=\frac{a_{32}-l_{31}u_{12}}{u_{22}} =\frac{-0,2 - 0,10\cdot(-0,1)}{7,00} =-0,03.

Passo 4

Finalmente,
u_{33} = a_{33} - l_{31}u_{13} - l_{32}u_{23} =10 - 0,10\cdot(-0,2) - (-0,03)\cdot(-0,29) =10,01.
Logo
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0,03 & 1 & 0\\\\ 0,10 & -0,03 & 1 \end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix} 3 & -0,10 & -0,20\\\\ 0 & 7,00 & -0,29\\\\ 0 & 0 & 10,01 \end{pmatrix}.

Passo 5

Resolvemos L\,y=b por substituição à frente:
y_{1}=b_{1}=7,85,
y_{2}=b_{2}-l_{21}y_{1} =-19,3 - 0,03\cdot7,85 =-19,54,
y_{3}=b_{3}-l_{31}y_{1}-l_{32}y_{2} =71,4 - 0,10\cdot7,85 -(-0,03)\cdot(-19,54) =70,03.

Passo 6

Resolvemos U\,x=y por substituição para trás:
x_{3}=\frac{y_{3}}{u_{33}} =\frac{70,03}{10,01} =7,00,
x_{2} =\frac{y_{2}-u_{23}x_{3}}{u_{22}} =\frac{-19,54 -(-0,29)\cdot7,00}{7,00} =-2,50,
x_{1} =\frac{y_{1}-u_{12}x_{2}-u_{13}x_{3}}{u_{11}} =\frac{7,85 -(-0,10)\cdot(-2,50) -(-0,20)\cdot7,00}{3} =3,00.

Resposta

x_{1}=3,00,\quad x_{2}=-2,50,\quad x_{3}=7,00.

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