De forma analítica, use o método da decomposição de Cholesky para resolver o seguinte sistema \left[\begin{array}{ccc} 6 & 15 & 55 \\\\ 15 & 55 & 225 \\\\ 55 & 225 & 979 \end{array}\right]\left\{\begin{array}{l} a_{0} \\\ a_{1} \\\ a_{2} \end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c} 152.6 \\\\ 585.6 \\\\ 2488.8 \end{array}\right\} Passo 1O enunciado pede para resolver o sistema \begin{pmatrix} 6 & 15 & 55\\\\ 15 & 55 & 225\\\\ 55 & 225 & 979 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{0}\\\ a_{1}\\\ a_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 152.6\\\\ 585.6\\\\ 2488.8 \end{pmatrix} usando a decomposição de Cholesky. Como a matriz dos coeficientes é simétrica e definida positiva, podemos escrevê-la como \mathbf{M} = L\,L^{T}, onde L é triangular inferior. Passo 2Vamos determinar L com entradas L = \begin{pmatrix} \ell_{11} & 0 & 0\\\ \ell_{21} & \ell_{22} & 0\\\ \ell_{31} & \ell_{32} & \ell_{33} \end{pmatrix}. Igualando L\,L^{T} a \mathbf{M}: \ell_{11}^{2}=6 \quad\Rightarrow\quad \ell_{11}=\sqrt{6}, \ell_{21}\,\ell_{11}=15 \quad\Rightarrow\quad \ell_{21}=\frac{15}{\sqrt{6}}, \ell_{31}\,\ell_{11}=55 \quad\Rightarrow\quad \ell_{31}=\frac{55}{\sqrt{6}}. Em seguida, \ell_{22}^{2}=55-\ell_{21}^{2} =55-\Bigl(\frac{15}{\sqrt{6}}\Bigr)^{2} =17.5 \quad\Rightarrow\quad \ell_{22}=\sqrt{17.5}, \ell_{32}\,\ell_{22} =225-\ell_{31}\,\ell_{21} =225-\frac{55\cdot15}{6} =87.5 \quad\Rightarrow\quad \ell_{32}=\frac{87.5}{\sqrt{17.5}}, \ell_{33}^{2} =979-\ell_{31}^{2}-\ell_{32}^{2} =979-\frac{3025}{6}-\frac{7656.25}{17.5} =\frac{112}{3} \quad\Rightarrow\quad \ell_{33}=\sqrt{\frac{112}{3}}. Passo 3Agora resolvemos L\,y=b. Chamando b=(152.6,\,585.6,\,2488.8)^{T}, temos y_{1}=\frac{152.6}{\ell_{11}}, y_{2}=\frac{585.6-\ell_{21}\,y_{1}}{\ell_{22}}, y_{3}=\frac{2488.8-\ell_{31}\,y_{1}-\ell_{32}\,y_{2}}{\ell_{33}}. Numericamente obtém-se y_{1}\approx62.30,\quad y_{2}\approx48.78,\quad y_{3}\approx11.35. Passo 4Em seguida resolvemos L^{T}x=y. Como L^{T} = \begin{pmatrix} \ell_{11}&\ell_{21}&\ell_{31}\\\\ 0&\ell_{22}&\ell_{32}\\\\ 0&0&\ell_{33} \end{pmatrix}, temos a_{2}=\frac{y_{3}}{\ell_{33}}, a_{1}=\frac{y_{2}-\ell_{32}\,a_{2}}{\ell_{22}}, a_{0}=\frac{y_{1}-\ell_{21}\,a_{1}-\ell_{31}\,a_{2}}{\ell_{11}}. Fazendo as contas, chegam-se a Resposta a_{0}\approx2.48,\quad a_{1}\approx2.37,\quad a_{2}\approx1.86. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUse o método exato de eliminação de Gauss para resolver: \begin{aligned} & 8 x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=8 \\\ & 10 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=16 \\\ & 12 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=16 \end{aligned} Utilize 2 dígitos de precisão e mostre os cálculos matemáticos. Substitua o resultado nas equações para verificar sua resposta. Use o método gráfico para resolver os seguintes sistemas: \begin{aligned}& 2 x_{1}-6 x_{2}=-18 \\& -x_{1}+8 x_{2}=40\end{aligned} De forma analítica, use a fatoração LU para resolver o seguinte sistema: \begin{aligned} & 3 x_{1}-0,1 x_{2}-0,2 x_{3}=7,85 \\\ & 0,1 x_{1}+7 x_{2}-0,3 x_{3}=-19,3 \\\ & 0,3 x_{1}-0,2 x_{2}+10 x_{3}=71,4 \end{aligned} \quad \text { Obs.: use precisão dupla, ou seja, duas casas decimais }ã De forma analítica, use o método iterativo de Gauss-Jacobi para resolver o seguinte sistema: \begin{aligned} & 4 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=7 \\\ & 2 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}-x_{4}=-6 \\\ & x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3}+x_{4}=-1 \\\ & x_{1}+x_{2}+x_{3}-4 x_{4}=-1 \end{aligned} \quad \text { Considere } \mathrm{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]^{\mathrm{T}}, \text { duas casas decimais e erro }<0,01