De forma analítica, use o método da decomposição de Cholesky para resolver o seguinte sistema
\left[\begin{array}{ccc} 6 & 15 & 55 \\\\ 15 & 55 & 225 \\\\ 55 & 225 & 979 \end{array}\right]\left\{\begin{array}{l} a_{0} \\\ a_{1} \\\ a_{2} \end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c} 152.6 \\\\ 585.6 \\\\ 2488.8 \end{array}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{pmatrix} 6 & 15 & 55\\\\ 15 & 55 & 225\\\\ 55 & 225 & 979 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{0}\\\ a_{1}\\\ a_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 152.6\\\\ 585.6\\\\ 2488.8 \end{pmatrix}
usando a decomposição de Cholesky. Como a matriz dos coeficientes é simétrica e definida positiva, podemos escrevê-la como \mathbf{M} = L\,L^{T}, onde L é triangular inferior.

Passo 2

Vamos determinar L com entradas
L = \begin{pmatrix} \ell_{11} & 0 & 0\\\ \ell_{21} & \ell_{22} & 0\\\ \ell_{31} & \ell_{32} & \ell_{33} \end{pmatrix}.
Igualando L\,L^{T} a \mathbf{M}:
\ell_{11}^{2}=6 \quad\Rightarrow\quad \ell_{11}=\sqrt{6},
\ell_{21}\,\ell_{11}=15 \quad\Rightarrow\quad \ell_{21}=\frac{15}{\sqrt{6}},
\ell_{31}\,\ell_{11}=55 \quad\Rightarrow\quad \ell_{31}=\frac{55}{\sqrt{6}}.
Em seguida,
\ell_{22}^{2}=55-\ell_{21}^{2} =55-\Bigl(\frac{15}{\sqrt{6}}\Bigr)^{2} =17.5 \quad\Rightarrow\quad \ell_{22}=\sqrt{17.5},
\ell_{32}\,\ell_{22} =225-\ell_{31}\,\ell_{21} =225-\frac{55\cdot15}{6} =87.5 \quad\Rightarrow\quad \ell_{32}=\frac{87.5}{\sqrt{17.5}},
\ell_{33}^{2} =979-\ell_{31}^{2}-\ell_{32}^{2} =979-\frac{3025}{6}-\frac{7656.25}{17.5} =\frac{112}{3} \quad\Rightarrow\quad \ell_{33}=\sqrt{\frac{112}{3}}.

Passo 3

Agora resolvemos L\,y=b. Chamando b=(152.6,\,585.6,\,2488.8)^{T}, temos
y_{1}=\frac{152.6}{\ell_{11}},
y_{2}=\frac{585.6-\ell_{21}\,y_{1}}{\ell_{22}},
y_{3}=\frac{2488.8-\ell_{31}\,y_{1}-\ell_{32}\,y_{2}}{\ell_{33}}.
Numericamente obtém-se
y_{1}\approx62.30,\quad y_{2}\approx48.78,\quad y_{3}\approx11.35.

Passo 4

Em seguida resolvemos L^{T}x=y. Como
L^{T} = \begin{pmatrix} \ell_{11}&\ell_{21}&\ell_{31}\\\\ 0&\ell_{22}&\ell_{32}\\\\ 0&0&\ell_{33} \end{pmatrix},
temos
a_{2}=\frac{y_{3}}{\ell_{33}},
a_{1}=\frac{y_{2}-\ell_{32}\,a_{2}}{\ell_{22}},
a_{0}=\frac{y_{1}-\ell_{21}\,a_{1}-\ell_{31}\,a_{2}}{\ell_{11}}.
Fazendo as contas, chegam-se a

Resposta

a_{0}\approx2.48,\quad a_{1}\approx2.37,\quad a_{2}\approx1.86.

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