[FRANCO, ex 5.4] Usar FIX 4 na calculadora. Considere o sistema linear
5 x1+2 x2+x3 & =7 -x1+4 x2+2 x3 & =3 2 x1-3 x2+10 x3 & =-1
Se possível, resolver o sistema pelo método de Gauss-Seidel considerando epsilon<10^-2.

Passo 1

Beleza, amigo! A questão quer que a gente resolva o sistema
5x1 + 2x2 + x3 = 7, -,x1 + 4x2 + 2x3 = 3, 2x1 - 3x2 + 10x3 = -1
pelo método de Gauss–Seidel, usando FIX 4 (ou seja, arredondando tudo pra 4 casas decimais a cada passo) e parar quando a maior diferença entre iterações sucessivas for menor que epsilon = 10^-2.
Conteúdo: método iterativo de Gauss–Seidel, critérios de convergência e arredondamento. Vamos precisar reescrever cada equação de modo a isolar x1, x2 e x3, escolher um chute inicial (zero é tranquilo) e iterar.

Passo 2

Primeiro, isolamos cada variável:
x1 = 7 - 2x2 - x35, x2 = 3 + x1 - 2x34, x3 = -1 - 2x1 + 3x210
No Gauss–Seidel, a cada iteração a gente atualiza x1 usando os valores antigos de x2,x3, depois já usa o novo x1 pra calcular x2, e por fim o novo x3. Sempre arredondando pra 4 casas decimais.

Passo 3

Chute inicial:
x1^(0)=0,;x2^(0)=0,;x3^(0)=0
Iteração 1:
  1. x1^(1)=7-2cdot0-05=1.4000
  2. x2^(1)=3+1.4000-2cdot04=1.1000
  3. x3^(1)=-1-2cdot1.4000+3cdot1.100010=-0.0500
Diferenças (em valor absoluto):
|x1^(1)-x1^(0)|=1.4000,
|x2^(1)-x2^(0)|=1.1000,
|x3^(1)-x3^(0)|=0.0500.
Maior = 1.4 > 0.01 → continua.

Passo 4

Iteração 2:
  1. x1^(2)=7-2cdot1.1000-(-0.0500)5=0.9700
  2. x2^(2)=3+0.9700-2cdot(-0.0500)4=1.0175
  3. x3^(2)=-1-2cdot0.9700+3cdot1.017510=0.0113
Diferenças:
|0.9700-1.4000|=0.4300,
|1.0175-1.1000|=0.0825,
|0.0113-(-0.0500)|=0.0613.
Maior = 0.43 > 0.01 → continua.

Passo 5

Iteração 3:
  1. x1^(3)=7-2cdot1.0175-0.01135=0.9907
  2. x2^(3)=3+0.9907-2cdot0.01134=0.9920
  3. x3^(3)=-1-2cdot0.9907+3cdot0.992010=-0.0005
Diferenças:
|0.9907-0.9700|=0.0207,
|0.9920-1.0175|=0.0255,
|-0.0005-0.0113|=0.0118.
Maior = 0.0255 > 0.01 → continua.

Passo 6

Iteração 4:
  1. x1^(4)=7-2cdot0.9920-(-0.0005)5=1.0033
  2. x2^(4)=3+1.0033-2cdot(-0.0005)4=1.0011
  3. x3^(4)=-1-2cdot1.0033+3cdot1.001110=-0.0003
Diferenças:
|1.0033-0.9907|=0.0126,
|1.0011-0.9920|=0.0091,
|-0.0003-(-0.0005)|=0.0002.
Maior = 0.0126 > 0.01 → continua.

Passo 7

Iteração 5:
  1. x1^(5)=7-2cdot1.0011-(-0.0003)5=0.9996
  2. x2^(5)=3+0.9996-2cdot(-0.0003)4=1.0001
  3. x3^(5)=-1-2cdot0.9996+3cdot1.000110=0.0001
Diferenças:
|0.9996-1.0033|=0.0037,
|1.0001-1.0011|=0.0010,
|0.0001-(-0.0003)|=0.0004.
Maior = 0.0037 < 0.01 → beleza, já convergiu!

Resposta

Usando Gauss–Seidel com FIX 4 e critério epsilon<10^-2, obtemos:
x1approx0.9996, x2approx1.0001, x3approx0.0001

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