Resolva o sistema linear dado usando o Método de Gauss.
[lll 1 & 3 & 0 2 & 5 & 1 2 & 2 & 3 ][l x1 x2 x3 ]=[l 1 2 4 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o Método de Gauss. Nosso sistema é:
1x1 + 3x2 + 0x3 = 1 2x1 + 5x2 + 1x3 = 2 2x1 + 2x2 + 3x3 = 4
Esse método envolve transformar a matriz do sistema em uma forma mais simples, chamada de forma triangular, usando operações nas linhas da matriz. Depois disso, resolvemos as incógnitas começando pela última equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
[ccc|c 1 & 3 & 0 & 1 2 & 5 & 1 & 2 2 & 2 & 3 & 4 ]

Passo 3

O objetivo aqui é zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (o número 1 na posição (1,1)). Para isso, vamos usar operações nas linhas.
Primeiro, vamos zerar o 2 na posição (2,1):
  • Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1
[ccc|c 1 & 3 & 0 & 1 0 & -1 & 1 & 0 2 & 2 & 3 & 4 ]

Passo 4

Agora, vamos zerar o 2 na posição (3,1):
  • Linha 3 = Linha 3 - 2 * Linha 1
[ccc|c 1 & 3 & 0 & 1 0 & -1 & 1 & 0 0 & -4 & 3 & 2 ]

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna e usar o segundo pivô, que é o -1 na posição (2,2). Vamos zerar o elemento abaixo desse pivô, que é o -4 na posição (3,2):
  • Linha 3 = Linha 3 - ( -4 / -1 ) * Linha 2 = Linha 3 - 4 * Linha 2
[ccc|c 1 & 3 & 0 & 1 0 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 7 & 2 ]

Passo 6

Agora, temos a matriz na forma triangular superior. Vamos resolver as variáveis começando de baixo para cima.
Primeiro, da terceira linha:
7x3 = 2 Rightarrow x3 = 27

Passo 7

Substituímos -1x2 + x3 = 0 Rightarrow -x2 + 27 = 0 Rightarrow x2 = 27 na segunda linha para encontrar :

Passo 8

Por fim, substituímos x1 + 3x2 + 0x3 = 1 Rightarrow x1 + 3 ( 27 ) = 1 Rightarrow x1 = 1 - 67 = 17 e na primeira linha para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 17, x2 = 27, x3 = 27

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