[FRANCO, ex 5.1 modificado] Usar FIX 4 na calculadora. No sistema linear
10 x1+x2-x3 & =10 x1+10 x2+x3 & =12 2 x1-x2+10 x3 & =11
Se possível, obter a solução do sistema pelo método de Jacobi com erro menor que 10^-2.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente precisa resolver, pelo método iterativo de Jacobi, o sistema
10x1+x2-x3=10, x1+10x2+x3=12, 2x1-x2+10x3=11,
usando “FIX 4” (arredondar cada valor a 4 casas decimais) e parar quando a diferença entre duas iterações consecutivas for menor que .
Conteúdo: método de Jacobi (iterativo), isolamento das incógnitas, dominância diagonal (pra garantir convergência), critério de parada, e arredondamento.

Passo 2

Primeiro a gente confere se o sistema é diagonalmente dominante (soma dos x1^(k+1) &= 10 - x2^(k) + x3^(k)10, x2^(k+1) &= 12 - x1^(k) - x3^(k)10, x3^(k+1) &= 11 - 2,x1^(k) + x2^(k)10 fora da diagonal menor que em cada linha). Aqui dá:
  • Linha 1: ,
  • Linha 2: ,
  • Linha 3: .
    Beleza, converge.
    Agora isolamos cada em função dos outros, usando sempre os valores da iteração anterior:

Passo 3

Chute inicial x1^(1)&=(10-0+0)/10=1.0000, x2^(1)&=(12-0-0)/10=1.2000, x3^(1)&=(11-0+0)/10=1.1000 . A cada iteração a gente calcula e arredonda a FIX 4:
Iteração 1:
x1^(2)&=(10-1.2000+1.1000)/10=0.9900, x2^(2)&=(12-1.0000-1.1000)/10=0.9900, x3^(2)&=(11-2cdot1.0000+1.2000)/10=1.0200
Iteração 2:
x1^(3)&=(10-0.9900+1.0200)/10=1.0030, x2^(3)&=(12-0.9900-1.0200)/10=0.9990, x3^(3)&=(11-2cdot0.9900+0.9900)/10=1.0010
Iteração 3:
x1^(4)&=(10-0.9990+1.0010)/10=1.0002, x2^(4)&=(12-1.0030-1.0010)/10=0.9996, x3^(4)&=(11-2cdot1.0030+0.9990)/10=0.9993
Iteração 4:

Passo 4

Agora verificamos o critério de parada:
.
Então paramos aqui.

Resposta

A aproximação final pelo método de Jacobi (FIX 4) é
(x1,x2,x3)approx(1.0002,;0.9996,;0.9993)

Exercícios relacionados