A função a(x)=2.02 x^5-1.28 x^4+3.06 x^3-2.92 x^2-5.66 x+6.08 é utilizada num estudo do comportamento mecânico dos materiais, representando a(x) o comprimento da fissura e x(>0) uma fracção do número de ciclos de propagação. Pretende-se saber para que valores de x a velocidade de propagação é nula. Usando como critério de paragem varepsilon 1=varepsilon 2=10^-2 ou no máximo três iterações.

Passo 1

Beleza, temos a função
a(x)=2.02,x^5-1.28,x^4+3.06,x^3-2.92,x^2-5.66,x+6.08
e queremos saber onde a “velocidade de propagação” é nula. Na prática isso significa achar as raízes de .
Conteúdo: Cálculo de derivada e método de Newton–Raphson para achar raízes.
O que vamos precisar:
  1. Derivar a função para achar .
  2. Derivar de novo para achar (pois o Newton precisa).
  3. Escolher um chute inicial e iterar até e , ou até 3 iterações.

Passo 2

Calcula-se a derivada primeira:
a'(x) = ddxl[2.02,x^5-1.28,x^4+3.06,x^3-2.92,x^2-5.66,x+6.08r] =10.1,x^4-5.12,x^3+9.18,x^2-5.84,x-5.66

Passo 3

Calcula-se a derivada segunda (para o denominador do Newton):
a''(x) = ddxl[10.1,x^4-5.12,x^3+9.18,x^2-5.84,x-5.66r] =40.4,x^3-15.36,x^2+18.36,x-5.84

Passo 4

Escolhemos um chute inicial xk+1=xk-a'(xk)a''(xk) . A iteração de Newton é
a'(0.8)approx -2.9432, a''(0.8)approx19.7264
Para x1=0.8 --2.943219.7264approx0.9493 :
Diferença , continuamos.

Passo 5

Segunda iteração ( a'(0.9493)approx0.8902, a''(0.9493)approx32.311 ):
x2=0.9493 -0.890232.311approx0.9218
Agora , ainda não paramos.

Passo 6

Terceira iteração ( a'(0.9218)approx0.0437, a''(0.9218)approx29.720 ):
x3=0.9218 -0.043729.720approx0.9203
Checagem:
e . Critérios satisfeitos aos 3 passos.

Resposta

A velocidade de propagação fica nula em aproximadamente
boxedxapprox0.92

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