Resolva as equações: 2 cdot cos (x)=e^x / 2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Resolva a equação
2cdot cos(x)=e^x/2,
Isso é uma equação transcendental (porque envolve função trigonométrica e exponencial juntas), então não dá pra isolar x num “formulão” comum. Vamos precisar do Teorema do Valor Intermediário (para garantir que em certos intervalos exista raiz) e de um método numérico simples (bisseção) pra aproximar as soluções.

Passo 2

Primeiro a gente define
f(x)=2cos(x)-e^x/2,
Resolver 2cos(x)=e^x/2 é o mesmo que achar x tais que f(x)=0.
– Como f é contínua, se f(a) e f(b) tiverem sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em (a,b).

Passo 3

Vamos achar uma raiz positiva.
– Calcule f(0)=2cos(0)-e^0/2=2cdot1-1=1>0.
– Calcule f(1)=2cos(1)-e^1/2approx2cdot0.54-1.6487approx1.08-1.65=-0.57<0.
Como f(0)>0 e f(1)<0, por TVI existe raiz em (0,1).

Passo 4

Agora aplicamos bisseção em (0,1):
  1. m1=0.5, f(0.5)approx2cdot0.8776-1.2840=1.7552-1.2840=0.4712>0 → raiz em (0.5,1).
  2. m2=0.75, f(0.75)approx2cdot0.7317-1.4549=1.4634-1.4549=0.0085>0 → raiz em (0.75,1).
  3. m3=0.875, f(0.875)approx2cdot0.6400-1.4769=1.2800-1.4769=-0.1969<0 → raiz em (0.75,0.875).
  4. Refina mais uma vez e acha xapprox0.7549 com erro de milésimos.

Passo 5

E as raízes negativas? Note que, conforme xto-infty, e^x/2to0 e 2cos(x) oscila entre -2 e 2. Então a cada vez que cos(x) muda de sinal (a cada meio-período), f(x) também muda de sinal, garantindo infinitas raízes para x<0.
– Por exemplo, no intervalo (-2pi,-pi)approx(-6.28,-3.14) dá pra aplicar TVI de novo:
  • f(-2pi)=2cos(-2pi)-e^-piapprox2cdot1-0.0432=1.9568>0,
  • f(-pi)=2cos(-pi)-e^-pi/2approx2cdot(-1)-0.2079=-2.2079<0.
    Logo tem raiz em (-2pi,-pi).

Passo 6

Bisseção em (-2pi,-pi):
  1. m1approx-(pi+2pi)/2=-4.7124, f(-4.7124)approx-0.4559<0 → vai pra (-2pi,-4.7124).
  2. Continua refinando até chegar em
xapprox -4.758(com precisão de 10^-3)ã
De modo análogo, há mais raízes em cada “janela” (-2pi k,,-pi-2pi(k-1)) para k=2,3,dots.

Resposta

As soluções são infinitas. As duas primeiras (mais próximas de zero) são
xapprox 0.7549e xapprox -4.758,,
e existem outras para cada período negativo de cos(x),.

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