A função
f(x)=0.25 x-12^x
é crescente e troca de sinal em [0,3]. Para aproximar a raiz alpha de f, podemos utilizar a interpolação inversa, isto é, consideramos os pontos yi=f(xi), i=0,1,2,3, x0=0, x1=1, x2=2 e x3=3 e alpha, com
tildep(x)
e aproximamos x=0 pelo valor do polinômio f^-1, no ponto y0, y1, y2, y3, que interpola alpha nos pontos . Estime pelo método descrito.

Passo 1

Então, a gente tem a função
f(x)=0.25,x ;-;12^x,
que é crescente e muda de sinal em . O objetivo é achar uma aproximação da raiz de (ou seja, resolver ) usando interpolação inversa de Lagrange.
Conteúdo: métodos numéricos – interpolação de Lagrange – interpolação inversa.
O que vamos precisar:
  1. calcular em ;
  2. montar o polinômio inverso que interpola nos pontos ;
  3. avaliar em , pois .

Passo 2

Calcular os valores
yi = f(xi) = 0.25,xi - 12^xi
  • (-1,,0),;(-0.25,,1),;(0.25,,2),;(0.625,,3) : .
  • : .
  • : .
  • : .
Logo, temos os pares :

Passo 3

O polinômio de interpolação inversa de Lagrange é
tilde p(y) ;=;sumk=0^3 xk;Lk(y), Lk(y) ;=;prodsubstackj=0jneq k^3 y - yj,yk - yj,
Para achar tilde p(0) =sumk=0^3 xk;Lk(0) , basta calcular :

Passo 4

Calcular cada base tilde p(0) =0cdot L0(0) +1cdot L1(0) +2cdot L2(0) +3cdot L3(0) approx 0 + 0.47619 + 2cdot0.66667 + 3cdot(-0.11724) approx 1.4578 :
Agora,

Resposta

A interpolação inversa de Lagrange dá
alpha ;approx; tilde p(0) ;approx; boxed1.458

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