1. Desejamos aproximar o valor de log 2(5 / 2) por meio de uma interpolação polinomial, usando para tal os valores conhecidos de log 2(x) nos pontos x=1,2,4 e 8 . Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de log 2(x),
    (a) nos pontos 2 e 4 (linear);
    (b) nos pontos 2,4 e 8 (quadrático);
    © nos pontos 1,2,4 e 8 (cúbico).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente aproximar
log2!l(tfrac52r)
usando interpolação polinomial de grau 1, 2 e 3 nos pontos dados de Pn(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+cdots .
Conteúdo: interpolação de Newton com diferenças divididas.
O que vamos precisar:
  1. Os valores de em .
  2. Calcular diferenças divididas até a ordem desejada.
  3. Montar o polinômio de Newton
e, para cada caso, escolher só os nós que interessam.

Passo 2

  1. Valores:
    f[2,4]=f(4)-f(2)4-2=2-12=tfrac12
  2. Diferença dividida de primeira ordem entre 2 e 4: P1(x)=f(2)+f[2,4],(x-2) =1+tfrac12,(x-2)
  3. Polinômio de grau 1 (Newton “a partir” de e ):

Passo 3

  1. Valores:
    f[2,4]=tfrac12, f[4,8]=3-28-4=tfrac14
  2. Diferenças divididas: f[2,4,8] =f[4,8]-f[2,4]8-2 =tfrac14-tfrac126 =-tfrac146 =-tfrac124 Segunda ordem sobre P2(x) =f(2)+f[2,4],(x-2)+f[2,4,8],(x-2)(x-4) =1+tfrac12,(x-2)-tfrac124,(x-2)(x-4) :
  3. Polinômio de grau 2 (começando em , , ):

Passo 4

  1. Valores:
    f[1,2]=1-02-1=1, f[2,4]=tfrac12, f[4,8]=tfrac14
  2. Diferenças divididas já conhecidas em parte: f[1,2,4] =f[2,4]-f[1,2]4-1 =tfrac12-13 =-tfrac16, f[2,4,8] =-tfrac124 Segunda ordem: f[1,2,4,8] =f[2,4,8]-f[1,2,4]8-1 =-tfrac124-(-tfrac16)7 =+tfrac3247 =tfrac156 Terceira ordem sobre P3(x) =f(1) +f[1,2],(x-1) +f[1,2,4],(x-1)(x-2) +f[1,2,4,8],(x-1)(x-2)(x-4) : P3(x) =0 +1,(x-1) -tfrac16,(x-1)(x-2) +tfrac156,(x-1)(x-2)(x-4)
  3. Polinômio de grau 3 (nós em ): Substituindo:

Resposta

(a)
(b)
©

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