Conhecendo a seguinte tabela:
|c|c|c|c| hline$x$ & -1 & 0 & 3 hline$f(x)$ & 15 & 8 & -1 hline -1 0 3
f(1) 15 8 -1
a) Determine o polinômio de interpolação usando a fórmula de Lagrange.
b) Calcule uma aproximação para , usando o item a).

Passo 1

Beleza, o enunciado nos dá três pontos:
x: –1, 0 e 3
f(x): 15, 8 e –1
E pede duas coisas:
a) Achar o polinômio que passa por esses pontos usando interpolação de Lagrange.
b) Usar esse polinômio pra estimar f(1).
Conteúdo: fórmula de interpolação de Lagrange. Vamos precisar montar os polinômios básicos e depois somar tudo.

Passo 2

Lembra da ideia da interpolação de Lagrange? A gente monta três “pesos” P(x)=sumi=0^2 f(xi),Li(x) que valem 1 num ponto e 0 nos outros, e faz
x0=-1,;f(x0)=15; x1=0,;f(x1)=8; x2=3,;f(x2)=-1
Aqui os pontos são
Li(x)=prodjneq ix-xjxi-xj
Agora, cada é
Vamos calcular um a um.

Passo 3

Calcular L0(x) =x - x1x0 - x1;cdot;x - x2x0 - x2 =x - 0(-1)-0;cdot;x - 3(-1)-3 =x-1;cdot;x-3-4 =x(x-3)4 (para L1(x) =x - x00 - (-1);cdot;x - x20 - 3 =x+11;cdot;x-3-3 =-(x+1)(x-3)3 ):
L2(x) =x - x03 - (-1);cdot;x - x13 - 0 =x+14;cdot;x3 =x(x+1)12
Agora (para ):
E (para ):

Passo 4

Agora montamos
P(x)=15,L0(x)+8,L1(x)-1cdot L2(x)
Substituindo:
P(x) =15cdotx(x-3)4 +8cdotl(-(x+1)(x-3)3r) -x(x+1)12
Vamos simplificar termo a termo:
  1. P(x)=x^2-6x+8 .
  2. .
  3. .
    Somando coeficientes:
  • De : .
  • De : .
  • Constante: só vem do segundo termo: .
    Logo

Passo 5

Pra achar P(1)=1^2-6cdot1+8=1-6+8=3 , é só calcular :

Resposta

O polinômio interpolador é
boxedP(x)=x^2-6x+8
e a aproximação para boxedf(1)approx3 fica

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