Conhecendo a seguinte tabela:
-1
0
3
15
8
-1
a) Determine o polinômio de interpolação usando a fórmula de Lagrange.
b) Calcule uma aproximação para
, usando o item a).
|
-1 | 0 | 3 |
|
15 | 8 | -1 |
b) Calcule uma aproximação para
Passo 1
Beleza, o enunciado nos dá três pontos:
x: –1, 0 e 3
f(x): 15, 8 e –1
E pede duas coisas:
a) Achar o polinômio que passa por esses pontos usando interpolação de Lagrange.
b) Usar esse polinômio pra estimar f(1).
Conteúdo: fórmula de interpolação de Lagrange. Vamos precisar montar os polinômios básicos e depois somar tudo.
x: –1, 0 e 3
f(x): 15, 8 e –1
E pede duas coisas:
a) Achar o polinômio que passa por esses pontos usando interpolação de Lagrange.
b) Usar esse polinômio pra estimar f(1).
Conteúdo: fórmula de interpolação de Lagrange. Vamos precisar montar os polinômios básicos
Passo 2
Lembra da ideia da interpolação de Lagrange? A gente monta três “pesos”
que valem 1 num ponto e 0 nos outros, e faz
Aqui os pontos são
Agora, cada
é
Vamos calcular um a um.
Passo 3
Calcular
(para
):
Agora
(para
):
E
(para
):
Passo 4
Agora montamos
Substituindo:
Vamos simplificar termo a termo:
-
. -
. -
.
Somando coeficientes:
- De
: . - De
: . - Constante: só vem do segundo termo:
.
Logo
Passo 5
Pra achar
, é só calcular
:
Resposta
O polinômio interpolador é
e a aproximação para
fica