Considere a equação diferencial y^prime(t)=-2 y(t)+t, com condição inicial y(0)=k+1. Use o método de Euler Melhorado com passo h=0.25 para aproximar a soluçũo no intervalo [0,0.5).
Resposta: y(0.5) approx Atenção: organize os calculos em uma tabela.

Passo 1

Beleza! O enunciado diz: “Temos a EDO
y'(t) = -2,y(t) + t
com condição inicial . A gente vai usar o Método de Euler Melhorado (também chamado de Heun) com passo pra aproximar .
Conteúdo envolvido:
  • Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª ordem
  • Método de Euler Melhorado (predictor–corrector)
    O que precisamos: entender como gerar no passo o “slope” inicial, calcular um valor predito, avaliar slope lá e corrigir.

Passo 2

Teoria na prática: o Método de Euler Melhorado vai assim, para cada passo fn = f(tn,yn) = -2,yn + tn :
  1. Calculo do slope inicial y^*n+1 = yn + h,fn
  2. Predict (valor predito) f^*n+1 = f(tn+1, y^*n+1) = -2,y^*n+1 + tn+1
  3. Avalia slope no ponto predito yn+1 = yn + h2l(fn + f^*n+1r)
  4. Corrige com média dos dois slopes

Passo 3

Vamos organizar tudo numa tabelinha. Cada linha é um passo k+1.
Tabela de iterações:
n tₙ yₙ fₙ yₙ₊₁ fₙ₊₁ yₙ₊₁
0 0 -2k-2 0.5k+0.5 -k - 0.75 0.625k + 0.65625 0.625k+0.65625
1 0.25 -1.25k - 1.0625 0.3125k+0.390625 -0.625k - 0.28125 0.390625k + 0.48828125
Passo a passo na tabela:
  • Na linha 0, partimos de . Calculamos .
    O predito é .
    .
    Finalmente .
  • Na linha 1, e como acima.
    Fazemos igual: .
    Predito .
    Slope predito .
    Corrigido .

Passo 4

A gente quer y(0.5)approx y2 = 0.390625,k ;+;0.48828125 . Como cada passo é de 0.25 e começamos em 0, o segundo passo (n=1→2) nos dá . Então

Resposta

boxedy(0.5)approx 0.390625,k + 0.48828125

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