A função
é classificada como uma função contínua. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo
:
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
. - O intervalo inicial para busca da raiz é
. - O método pedido é a posição falsa modificada (FPM).
- A tolerância (critério de parada) é
.
O que é pedido:
- Encontrar o zero (uma aproximação da raiz) de
no intervalo usando o método da posição falsa modificada com precisão .
Passo 2
Entendendo o método (explicação didática e fórmulas):
- A posição falsa (regula falsi) calcula em cada iteração um ponto
que é a interseção da reta que passa por e com o eixo . A fórmula é
Aqui
e
são as extremidades do intervalo atual e
,
seus valores.
- Depois de calcular
, verifica-se o sinal de : - Se
então a raiz está em e atualiza-se . - Se
então a raiz está em e atualiza-se .
- Se
- Problema conhecido da posição falsa pura: um dos extremos pode não se mover (ficar “preso”), retardando a convergência. A versão modificada (Illinois) evita isso dividindo por
o valor de do extremo que ficou imutável em duas iterações consecutivas. Em termos práticos: - Se o mesmo extremo permaneceu sem ser substituído duas vezes seguidas, divide-se o valor de
desse extremo por antes de calcular o próximo .
- Se o mesmo extremo permaneceu sem ser substituído duas vezes seguidas, divide-se o valor de
- Critério de parada usado aqui (comum e prático): parar quando a diferença entre duas aproximações sucessivas de
for menor que , isto é, quando . - Vamos aplicar passo a passo, monitorando sinais e aplicando o ajuste (dividir por
) quando um extremo fica parada por duas iterações.
Passo 3
Verificação inicial dos extremos e valores de
:
Logo
e
, há mudança de sinal e portanto uma raiz em
. Definimos:
Passo 4
Iteração 1 (sem ajustes ainda):
Calcular
. Usando frações:
Sendo
e
, a raiz está em
. Atualiza-se:
(O extremo
permaneceu sem mudança nesta iteração.)
Passo 5
Iteração 2:
Usando .
Usando
Calcular
. Em frações (computação mostrada):
Novamente
e
, então a raiz está em
. Atualiza-se:
Agora observe: o extremo
permaneceu sem mudança por duas iterações consecutivas (iteração 1 e 2), então, segundo a modificação Illinois, devemos dividir
por
antes da próxima iteração. Assim vamos usar para o cálculo seguinte:
Passo 6
Iteração 3 (com
ajustado):
Agora (ajustado),
.
Calcule:
Agora
Calcule:
Avaliar
numericamente:
Agora
e
, então a raiz está em
. Atualiza-se:
(O extremo
permaneceu sem mudança nesta iteração.)
Passo 7
Iteração 4:
Usando e
com seus
-valores:
Usando
Calcule:
Avaliar:
Como
e
, a raiz está em
. Atualiza-se:
(Agora o extremo
permaneceu sem mudança nesta iteração — observe o histórico para aplicar possível ajuste.)
Passo 8
Iteração 5:
Valores atuais:
Valores atuais:
Calcule:
Avaliar:
Como
e
, atualiza-se:
Agora repare: o extremo
ficou sem ser substituído em duas iterações consecutivas (iterações 4 e 5), portanto aplicamos a modificação Illinois novamente e dividimos
por
para a próxima iteração:
Passo 9
Iteração 6 (aplicando o ajuste):
Com (ajustado) e
,
Com
Calcule a diferença entre as últimas aproximações de
:
Portanto a condição de parada
foi satisfeita.
Passo 10
Interpretação final e incentivo:
- Convergiu para uma raiz aproximada
com diferença entre duas iterações consecutivas menor que . - Viu como a modificação (dividir por
o do extremo que fica parado) evita que um extremo fique “preso” e acelera a convergência? É uma técnica simples e muito útil em provas. - Parabéns — apesar do desespero inicial, aplicando passo a passo dá para chegar lá. Continua assim!