A função f(x)=-x^{3}+x^{2}+4 x é classificada como uma função contínua. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo \varepsilon=0,002 :
[-2:-1]

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função \;f(x) = -x^{3} + x^{2} + 4x\;.
  • O intervalo inicial para busca da raiz é \;[-2:-1]\;.
  • O método pedido é a posição falsa modificada (FPM).
  • A tolerância (critério de parada) é \;\varepsilon = 0,002\;.
O que é pedido:
  • Encontrar o zero (uma aproximação da raiz) de f no intervalo [-2,-1] usando o método da posição falsa modificada com precisão \varepsilon=0,002.

Passo 2

Entendendo o método (explicação didática e fórmulas):
  • A posição falsa (regula falsi) calcula em cada iteração um ponto c que é a interseção da reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x. A fórmula é
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Aqui a e b são as extremidades do intervalo atual e f(a), f(b) seus valores.
  • Depois de calcular c, verifica-se o sinal de f\text{(c)}:
    • Se f(a)\,f\text{(c)}<0 então a raiz está em [a,c] e atualiza-se b\leftarrow c.
    • Se f(b)\,f\text{(c)}<0 então a raiz está em [c,b] e atualiza-se a\leftarrow c.
  • Problema conhecido da posição falsa pura: um dos extremos pode não se mover (ficar “preso”), retardando a convergência. A versão modificada (Illinois) evita isso dividindo por 2 o valor de f do extremo que ficou imutável em duas iterações consecutivas. Em termos práticos:
    • Se o mesmo extremo permaneceu sem ser substituído duas vezes seguidas, divide-se o valor de f desse extremo por 2 antes de calcular o próximo c.
  • Critério de parada usado aqui (comum e prático): parar quando a diferença entre duas aproximações sucessivas de c for menor que \varepsilon, isto é, quando |c_{\text{novo}}-c_{\text{ant}}|<\varepsilon.
  • Vamos aplicar passo a passo, monitorando sinais e aplicando o ajuste (dividir por 2) quando um extremo fica parada por duas iterações.

Passo 3

Verificação inicial dos extremos e valores de f:
f(-2) = -(-8)+4-8 = 4,\qquad f(-1) = -(-1)+1-4 = -2.
Logo \;f(-2)=4>0 e \;f(-1)=-2<0, há mudança de sinal e portanto uma raiz em [-2,-1]. Definimos:
a_0=-2,\quad b_0=-1,\quad f(a_0)=4,\quad f(b_0)=-2.

Passo 4

Iteração 1 (sem ajustes ainda):
c_1=\frac{a_0 f(b_0)-b_0 f(a_0)}{f(b_0)-f(a_0)} =\frac{(-2)(-2)-(-1)(4)}{-2-4} =\frac{8}{-6}=-\tfrac{4}{3}\approx -1,333333.
Calcular f(c_1). Usando frações:
f\!\left(-\tfrac{4}{3}\right)=-\left(-\tfrac{64}{27}\right)+\tfrac{16}{9}+4\left(-\tfrac{4}{3}\right) =\tfrac{64}{27}+\tfrac{48}{27}-\tfrac{144}{27}=-\tfrac{32}{27}\approx -1,185185.
Sendo f(a_0)>0 e f(c_1)<0, a raiz está em [a_0,c_1]. Atualiza-se:
a_1=a_0=-2,\quad b_1=c_1=-\tfrac{4}{3}.
(O extremo a permaneceu sem mudança nesta iteração.)

Passo 5

Iteração 2:
Usando a_1=-2,\;b_1=-\tfrac{4}{3},\;f(a_1)=4,\;f(b_1)=-\tfrac{32}{27}.
c_2=\frac{a_1 f(b_1)-b_1 f(a_1)}{f(b_1)-f(a_1)} =\frac{(-2)\left(-\tfrac{32}{27}\right)-\left(-\tfrac{4}{3}\right)4}{-\tfrac{32}{27}-4} =-\tfrac{52}{35}\approx -1,485714.
Calcular f(c_2). Em frações (computação mostrada):
f\!\left(-\tfrac{52}{35}\right)=-\tfrac{19552}{42875}\approx -0,456186.
Novamente f(a_1)>0 e f(c_2)<0, então a raiz está em [a_1,c_2]. Atualiza-se:
a_2=a_1=-2,\quad b_2=c_2=-\tfrac{52}{35}.
Agora observe: o extremo a permaneceu sem mudança por duas iterações consecutivas (iteração 1 e 2), então, segundo a modificação Illinois, devemos dividir f(a) por 2 antes da próxima iteração. Assim vamos usar para o cálculo seguinte:
f(a_2)\leftarrow \frac{f(a_2)}{2}=\frac{4}{2}=2.

Passo 6

Iteração 3 (com f(a) ajustado):
Agora a_2=-2,\;b_2=-\tfrac{52}{35},\;f(a_2)=2 (ajustado), f(b_2)\approx -0,456186.
Calcule:
c_3=\frac{a_2 f(b_2)-b_2 f(a_2)}{f(b_2)-f(a_2)}\approx -1,584214.
Avaliar f(c_3) numericamente:
f(c_3)\approx 0,148690\quad(\text{positivo}).
Agora f(c_3)>0 e f(b_2)<0, então a raiz está em [c_3,b_2]. Atualiza-se:
a_3=c_3\approx -1,584214,\quad b_3=b_2\approx -1,485714.
(O extremo b permaneceu sem mudança nesta iteração.)

Passo 7

Iteração 4:
Usando a_3 e b_3 com seus f-valores:
f(a_3)\approx 0,148690,\qquad f(b_3)\approx -0,456186.
Calcule:
c_4=\frac{a_3 f(b_3)-b_3 f(a_3)}{f(b_3)-f(a_3)}\approx -1,558800.
Avaliar:
f(c_4)\approx -0,0178\quad(\text{negativo}).
Como f(a_3)>0 e f(c_4)<0, a raiz está em [a_3,c_4]. Atualiza-se:
a_4=a_3\approx -1,584214,\quad b_4=c_4\approx -1,558800.
(Agora o extremo a permaneceu sem mudança nesta iteração — observe o histórico para aplicar possível ajuste.)

Passo 8

Iteração 5:
Valores atuais:
f(a_4)\approx 0,148690,\qquad f(b_4)\approx -0,0178.
Calcule:
c_5=\frac{a_4 f(b_4)-b_4 f(a_4)}{f(b_4)-f(a_4)}\approx -1,5618.
Avaliar:
f(c_5)\approx -0,0016\quad(\text{negativo, pequeno}).
Como f(a_4)>0 e f(c_5)<0, atualiza-se:
a_5=a_4\approx -1,584214,\quad b_5=c_5\approx -1,5618.
Agora repare: o extremo a ficou sem ser substituído em duas iterações consecutivas (iterações 4 e 5), portanto aplicamos a modificação Illinois novamente e dividimos f(a) por 2 para a próxima iteração:
f(a_5)\leftarrow \frac{f(a_5)}{2}\approx \frac{0,148690}{2}=0,074345.

Passo 9

Iteração 6 (aplicando o ajuste):
Com a_5\approx -1,584214,\;f(a_5)\approx 0,074345 (ajustado) e b_5\approx -1,5618,\;f(b_5)\approx -0,0016,
c_6=\frac{a_5 f(b_5)-b_5 f(a_5)}{f(b_5)-f(a_5)}\approx -1,56190.
Calcule a diferença entre as últimas aproximações de c:
|c_6-c_5|\approx | -1,56190 - (-1,5618)| \approx 0,00010 < \varepsilon\,(=0,002).
Portanto a condição de parada |c_{\text{novo}}-c_{\text{ant}}|<\varepsilon foi satisfeita.

Passo 10

Interpretação final e incentivo:
  • Convergiu para uma raiz aproximada \;c\approx -1,5619\; com diferença entre duas iterações consecutivas menor que \varepsilon=0,002.
  • Viu como a modificação (dividir por 2 o f do extremo que fica parado) evita que um extremo fique “preso” e acelera a convergência? É uma técnica simples e muito útil em provas.
  • Parabéns — apesar do desespero inicial, aplicando passo a passo dá para chegar lá. Continua assim!

Resposta

-1,5619

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