A função
é classificada como uma função contínua. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar o zero dessa função no intervalo
usando o método da posição falsa modificada (FPM), com tolerância
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Função:
. - Intervalo inicial:
e . - Tolerância:
.
O que se pede: encontrar um valortal que seja nulo (ou suficientemente próximo de zero), usando o FPM até que .
Passo 2
Breve explicação do método da posição falsa modificada (Illinois), de forma didática e sem pular etapas:
- A posição falsa (regula falsi) aproxima a raiz pela intersecção da reta que passa por
e com o eixo . Essa intersecção é o ponto
Aqui
e
são extremos do intervalo com sinais opostos (
).
- Depois de calcular
, testa-se o sinal de . Se , a raiz está em (então se troca por ); se , a raiz está em (então se troca por ). - Problema prático da posição falsa clássica: um dos extremos pode permanecer sem mudança por muitas iterações, fazendo o método convergir muito lentamente. A modificação de Illinois evita isso: sempre que um extremo permanecer inalterado após uma iteração (ou seja, quando
tem o mesmo sinal que um extremo e esse extremo é substituído), o valor de do extremo que ficou (o extremo não substituído) é dividido por no cálculo seguinte. Na prática, usa-se o valor escalado de somente na fórmula da secante para forçar movimento do extremo que ficaria parado. - Critério de parada escolhido: interromper quando
, ou seja, quando o valor da função no ponto aproximado for suficientemente pequeno. Esse é um critério comum e direto para assegurar aproximação da raiz.
Passo 3
Verificação inicial dos sinais nos extremos:
Como
e
, existe ao menos uma raiz em
e podemos aplicar o método (sinal trocado).
Passo 4
Dados iniciais:
,
,
,
.
Calcular
pela fórmula da secante:
Avaliar
. Usando cálculo direto:
Logo
. Isso tem o mesmo sinal que
. Segundo a regra: substitui-se
. Pelo procedimento de Illinois, o extremo que ficou (aqui
) tem seu
escalado para uso na próxima fórmula: usaremos
na próxima interpolação (o valor real de
continua
, mas na fórmula usamos o
escalado).
Resumo após iteração 1:
,
;
, valor usado para
na interpolação:
.
Passo 5
Usando
,
e o
escalado:
Avaliar
numericamente:
Novamente
positivo (mesmo sinal que
), logo substituímos
. Pelo método de Illinois, o extremo que ficou (
) tem o seu valor usado na próxima iteração dividido por
novamente: o valor usado passa de
para
.
Resumo após iteração 2:
,
;
, valor usado para
na interpolação:
.
Passo 6
Com
e
(usando
):
Avaliar
numericamente:
Agora
tem sinal oposto ao de
, então substituímos
e, como houve troca de extremo (o extremo antigo que ficou não fica inalterado), não fazemos escalonamento extra neste passo. Mantém-se os valores reais para a próxima iteração.
Resumo após iteração 3:
,
;
,
.
Passo 7
Calcular nova interpolação com
e
(valores verdadeiros de
):
Avaliar
:
Como
e tem o mesmo sinal que
, substitui-se
e, pelo procedimento Illinois, o extremo que permaneceu (aqui
) terá seu
usado na próxima fórmula dividido por
:
passa de
para
para uso na interpolação seguinte.
Resumo após iteração 4:
,
;
, valor usado para
na interpolação:
.
Passo 8
Com
e
(usando
):
Avaliar
:
Agora
tem sinal oposto ao de
, logo substituímos
e usamos os valores verdadeiros de
(sem escalonamento adicional nesta iteração).
Resumo após iteração 5:
,
;
,
.
Passo 9
Calcular a próxima interpolação com
e
:
Avaliar
numericamente:
Como
, atingimos o critério de parada escolhido.