A função f(x)=-x^{3}+x^{2}+4 x é classificada como uma função contínua. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo \varepsilon=0,002 :
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Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=-x^{3}+x^{2}+4x e pede para determinar o zero dessa função no intervalo [2,4] usando o método da posição falsa modificada (FPM), com tolerância \varepsilon=0,002.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=-x^{3}+x^{2}+4x.
  • Intervalo inicial: a_{0}=2 e b_{0}=4.
  • Tolerância: \varepsilon=0,002.
    O que se pede: encontrar um valor c tal que f\text{(c)} seja nulo (ou suficientemente próximo de zero), usando o FPM até que |f\text{(c)}|\le\varepsilon.

Passo 2

Breve explicação do método da posição falsa modificada (Illinois), de forma didática e sem pular etapas:
  • A posição falsa (regula falsi) aproxima a raiz pela intersecção da reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x. Essa intersecção é o ponto
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Aqui a e b são extremos do intervalo com sinais opostos ( f(a)f(b)<0).
  • Depois de calcular c, testa-se o sinal de f\text{(c)}. Se f(a)f\text{(c)}<0, a raiz está em [a,c] (então se troca b por c); se f(b)f\text{(c)}<0, a raiz está em [c,b] (então se troca a por c).
  • Problema prático da posição falsa clássica: um dos extremos pode permanecer sem mudança por muitas iterações, fazendo o método convergir muito lentamente. A modificação de Illinois evita isso: sempre que um extremo permanecer inalterado após uma iteração (ou seja, quando f\text{(c)} tem o mesmo sinal que um extremo e esse extremo é substituído), o valor de f do extremo que ficou (o extremo não substituído) é dividido por 2 no cálculo seguinte. Na prática, usa-se o valor escalado de f somente na fórmula da secante para forçar movimento do extremo que ficaria parado.
  • Critério de parada escolhido: interromper quando |f\text{(c)}|\le\varepsilon, ou seja, quando o valor da função no ponto aproximado for suficientemente pequeno. Esse é um critério comum e direto para assegurar aproximação da raiz.

Passo 3

Verificação inicial dos sinais nos extremos:
f(2) = -(2)^{3} + (2)^{2} + 4\cdot 2 = -8 + 4 + 8 = 4.
f(4) = -(4)^{3} + (4)^{2} + 4\cdot 4 = -64 + 16 +16 = -32.
Como f(2)=4>0 e f(4)=-32<0, existe ao menos uma raiz em [2,4] e podemos aplicar o método (sinal trocado).

Passo 4

Dados iniciais: a_{0}=2, b_{0}=4, f(a_{0})=4, f(b_{0})=-32.
Calcular c_{1} pela fórmula da secante:
c_{1}=\frac{a_{0}f(b_{0})-b_{0}f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})} =\frac{2\cdot(-32)-4\cdot 4}{-32-4} =\frac{-64-16}{-36}=\frac{80}{36}=\frac{20}{9}\approx 2,222222.
Avaliar f(c_{1}). Usando cálculo direto:
f\bigl(\tfrac{20}{9}\bigr)=-\left(\tfrac{20}{9}\right)^{3}+\left(\tfrac{20}{9}\right)^{2}+4\left(\tfrac{20}{9}\right)=\frac{2080}{729}\approx 2,853\ldots
Logo f(c_{1})\approx 2,853>0. Isso tem o mesmo sinal que f(a_{0}). Segundo a regra: substitui-se a_{1}=c_{1}. Pelo procedimento de Illinois, o extremo que ficou (aqui b) tem seu f escalado para uso na próxima fórmula: usaremos f(b)\leftarrow \dfrac{f(b)}{2}=-16 na próxima interpolação (o valor real de f(b) continua -32, mas na fórmula usamos o -16 escalado).
Resumo após iteração 1:
a_{1}=\tfrac{20}{9}\approx 2,222222, f(a_{1})\approx 2,853;
b_{1}=4, valor usado para f(b_{1}) na interpolação: -16.

Passo 5

Usando a_{1}, b_{1} e o f(b_{1}) escalado:
c_{2}=\frac{a_{1}f(b_{1})-b_{1}f(a_{1})}{f(b_{1})-f(a_{1})} =\frac{\tfrac{20}{9}\cdot(-16)-4\cdot\frac{2080}{729}}{-16-\frac{2080}{729}} =\frac{34240}{13744}=\frac{2140}{859}\approx 2,491571.
Avaliar f(c_{2}) numericamente:
f(c_{2})\approx 0,7067>0.
Novamente f(c_{2}) positivo (mesmo sinal que f(a_{1})), logo substituímos a_{2}=c_{2}. Pelo método de Illinois, o extremo que ficou ( b ) tem o seu valor usado na próxima iteração dividido por 2 novamente: o valor usado passa de -16 para -8.
Resumo após iteração 2:
a_{2}\approx 2,491571, f(a_{2})\approx 0,7067;
b_{2}=4, valor usado para f(b_{2}) na interpolação: -8.

Passo 6

Com a_{2} e b_{2} (usando f(b_{2})=-8):
c_{3}=\frac{a_{2}f(b_{2})-b_{2}f(a_{2})}{f(b_{2})-f(a_{2})}\approx 2,615\\ (\text{aprox.})
Avaliar f(c_{3}) numericamente:
f(c_{3})\approx -0,5821<0.
Agora f(c_{3}) tem sinal oposto ao de f(a_{2}), então substituímos b_{3}=c_{3} e, como houve troca de extremo (o extremo antigo que ficou não fica inalterado), não fazemos escalonamento extra neste passo. Mantém-se os valores reais para a próxima iteração.
Resumo após iteração 3:
a_{3}\approx 2,491571, f(a_{3})\approx 0,7067;
b_{3}\approx 2,615, f(b_{3})\approx -0,5821.

Passo 7

Calcular nova interpolação com a_{3} e b_{3} (valores verdadeiros de f):
c_{4}=\frac{a_{3}f(b_{3})-b_{3}f(a_{3})}{f(b_{3})-f(a_{3})}\approx 2,559\\ (\text{aprox.})
Avaliar f(c_{4}):
f(c_{4})\approx 0,02688>0.
Como f(c_{4})>0 e tem o mesmo sinal que f(a_{3}), substitui-se a_{4}=c_{4} e, pelo procedimento Illinois, o extremo que permaneceu (aqui b) terá seu f usado na próxima fórmula dividido por 2: f(b) passa de -0,5821 para -0,291059 para uso na interpolação seguinte.
Resumo após iteração 4:
a_{4}\approx 2,559, f(a_{4})\approx 0,02688;
b_{4}\approx 2,615, valor usado para f(b_{4}) na interpolação: -0,291059.

Passo 8

Com a_{4} e b_{4} (usando f(b_{4})=-0,291059):
c_{5}\approx 2,563\\ (\text{aprox.})
Avaliar f(c_{5}):
f(c_{5})\approx -0,01223<0.
Agora f(c_{5}) tem sinal oposto ao de f(a_{4}), logo substituímos b_{5}=c_{5} e usamos os valores verdadeiros de f (sem escalonamento adicional nesta iteração).
Resumo após iteração 5:
a_{5}\approx 2,559, f(a_{5})\approx 0,02688;
b_{5}\approx 2,563, f(b_{5})\approx -0,01223.

Passo 9

Calcular a próxima interpolação com a_{5} e b_{5}:
c_{6}=\frac{a_{5}f(b_{5})-b_{5}f(a_{5})}{f(b_{5})-f(a_{5})}\approx 2,5616\\ (\text{aprox.})
Avaliar f(c_{6}) numericamente:
f(c_{6})\approx 0,0009.
Como |f(c_{6})|\approx 0,0009 \le \varepsilon=0,002, atingimos o critério de parada escolhido.

Resposta

x\approx 2,5616

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