A função f(x)=-x^{3}+x^{2}+4 x é classificada como uma função contínua. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo \varepsilon=0,002 :
[-1:1]

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede-se determinar um zero (uma raiz) da função f usando o método da posição falsa modificada (FPM) com tolerância \varepsilon=0,002.
  • A função dada é f(x)=-x^{3}+x^{2}+4x.
  • O intervalo inicial dado é [-1,1].
  • Informação útil imediata (vou calcular os sinais nas extremidades):
    • f(-1)=-2.
    • f(1)=4.
Portanto há mudança de sinal em [-1,1] e existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. O objetivo é aproximá-la com o método de posição falsa modificada até que |f(\text{aprox})|\le\varepsilon=0,002.

Passo 2

Breve explicação didática do método da posição falsa modificada (FPM, também conhecido como método de Illinois) e a fórmula usada.
  • Ideia do método (versão clássica): a posição falsa constrói em cada iteração um ponto c que é a interseção da reta que liga (a,f(a)) a (b,f(b)) com o eixo x. A fórmula é
c=\frac{b\,f(a)-a\,f(b)}{f(a)-f(b)}.
  • Problema da versão simples: se uma extremidade permanece sempre com mesmo sinal por muitas iterações, a convergência pode ficar muito lenta (stagnation).
  • Modificação usada (Illinois): sempre que uma extremidade não for atualizada numa iteração (isto é, permanecer como antes), na iteração seguinte usa-se metade do seu valor da função na interpolação (multiplica-se por 1/2). Esse fator reduz o peso da extremidade que “está emperrada” e acelera a convergência.
  • Critério de parada escolhido aqui (comun e adequado): parar quando |f\text{(c)}|\le\varepsilon.
  • Fórmula que vou aplicar em cada iteração (lembrando de aplicar possível fator 1/2 ao f de uma extremidade que permaneceu):
c=\frac{b\,f(a)-a\,f(b)}{f(a)-f(b)}.
Vou aplicar passo a passo as iterações, mostrando os cálculos e indicando quando um f(\cdot) foi dividido por 2 por causa da modificação.

Passo 3

Inicialização e primeira iteração.
  • Extremidades iniciais: a_{0}=-1, b_{0}=1.
  • Valores: f(a_{0})=f(-1)=-2, f(b_{0})=f(1)=4.
Calcular c_{1} pela fórmula:
c_{1}=\frac{b_{0}f(a_{0})-a_{0}f(b_{0})}{f(a_{0})-f(b_{0})} =\frac{1\cdot(-2)-(-1)\cdot4}{-2-4}=\frac{-2+4}{-6}=-\tfrac{1}{3}\approx-0{,}333333.
Avaliar f(c_{1}):
f\!\left(-\tfrac{1}{3}\right)=-\left(-\tfrac{1}{27}\right)+\tfrac{1}{9}-\tfrac{4}{3}=\tfrac{1}{27}+\tfrac{1}{9}-\tfrac{4}{3}=-\tfrac{32}{27}\approx-1{,}185185.
  • Sinal: f(c_{1})<0 (mesmo sinal de f(a_{0})), logo o novo intervalo é [c_{1},b_{0}]=[-\tfrac{1}{3},1].
  • Como b permaneceu igual (não foi substituído), aplicamos a modificação: para a próxima interpolação usaremos f(b)\leftarrow f(b)/2 = 4/2=2.

Passo 4

Segunda iteração (usando f(b) reduzido).
  • Agora a_{1}=-\tfrac{1}{3}, b_{1}=1.
  • Usamos f(a_{1})=-\tfrac{32}{27} (valor exato) e o f(b_{1}) reduzido =2.
Calcular c_{2}:
c_{2}=\frac{b_{1}f(a_{1})-a_{1}f(b_{1})}{f(a_{1})-f(b_{1})} =\frac{1\cdot\left(-\tfrac{32}{27}\right)-\left(-\tfrac{1}{3}\right)\cdot 2}{-\tfrac{32}{27}-2} =\frac{-\tfrac{32}{27}+\tfrac{2}{3}}{-\tfrac{32}{27}-\tfrac{54}{27}} =\frac{-\tfrac{14}{27}}{-\tfrac{86}{27}}=\tfrac{7}{43}\approx0{,}162791.
Avaliar f(c_{2}) (decimal):
f\!\left(\tfrac{7}{43}\right)\approx0{,}673362>0.
  • Sinal: positivo, portanto novo intervalo é [a_{1},c_{2}]=[-\tfrac{1}{3},\tfrac{7}{43}].
  • Como a permaneceu (não foi trocado nesta iteração), aplicamos a modificação: para a próxima interpolação usaremos f(a)\leftarrow f(a)/2 = -\tfrac{32}{27}\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{16}{27}\approx-0{,}592593.

Passo 5

Terceira iteração.
  • a_{2}=-\tfrac{1}{3} com f(a_{2}) reduzido -\tfrac{16}{27}.
  • b_{2}=\tfrac{7}{43} com f(b_{2})\approx0{,}673362.
Calcular c_{3} (usando os valores possivelmente reduzidos):
\text{numerador}=b_{2}f(a_{2})-a_{2}f(b_{2})\approx0{,}1627907\cdot(-0{,}5925926)-(-0{,}3333333)\cdot0{,}6733618\approx0{,}128077,
\text{denominador}=f(a_{2})-f(b_{2})\approx-0{,}5925926-0{,}6733618\approx-1{,}2659544,
c_{3}\approx\frac{0{,}128077}{-1{,}2659544}\approx-0{,}101173.
Avaliar f(c_{3}):
f(-0{,}101173)\approx-0{,}393420\\ (<0).
  • Sinal negativo: novo intervalo [c_{3},b_{2}]=[-0{,}101173,\,0{,}162791].
  • Como b permaneceu, aplicamos o fator 1/2 a f(b): f(b)\leftarrow 0{,}6733618/2\approx0{,}3366809.

Passo 6

Quarta iteração.
  • a_{3}= -0{,}101173 com f(a_{3})\approx-0{,}393420.
  • b_{3}=0{,}162791 com f(b_{3}) reduzido \approx0{,}3366809.
Calcular c_{4}:
\text{numerador}\approx0{,}1627907\cdot(-0{,}393420)-(-0{,}101173)\cdot0{,}3366809\approx-0{,}029968,
\text{denominador}\approx-0{,}393420-0{,}3366809\approx-0{,}730101,
c_{4}\approx\frac{-0{,}029968}{-0{,}730101}\approx0{,}04104.
Avaliar f(c_{4}):
f(0{,}04104)\approx0{,}165774\\ (>0).
  • Sinal positivo: novo intervalo [a_{3},c_{4}]=[-0{,}101173,\,0{,}04104].
  • Como a permaneceu, aplicamos f(a)\leftarrow f(a)/2\approx-0{,}393420/2=-0{,}196710.

Passo 7

Quinta iteração.
  • a_{4}=-0{,}101173 com f(a_{4}) reduzido \approx-0{,}196710.
  • b_{4}=0{,}04104 com f(b_{4})\approx0{,}165774.
Calcular c_{5}:
\text{numerador}\approx0{,}04104\cdot(-0{,}196710)-(-0{,}101173)\cdot0{,}165774\approx0{,}008709,
\text{denominador}\approx-0{,}196710-0{,}165774\approx-0{,}362484,
c_{5}\approx\frac{0{,}008709}{-0{,}362484}\approx-0{,}024038.
Avaliar f(c_{5}):
f(-0{,}024038)\approx-0{,}095560\\ (<0).
  • Sinal negativo: novo intervalo [c_{5},b_{4}]=[-0{,}024038,\,0{,}04104].
  • Como b permaneceu, aplicamos f(b)\leftarrow f(b)/2\approx0{,}165774/2=0{,}082887.

Passo 8

Sexta iteração.
  • a_{5}=-0{,}024038 com f(a_{5})\approx-0{,}095560.
  • b_{5}=0{,}04104 com f(b_{5}) reduzido \approx0{,}082887.
Calcular c_{6}:
\text{numerador}\approx0{,}04104\cdot(-0{,}095560)-(-0{,}024038)\cdot0{,}082887\approx-0{,}001934,
\text{denominador}\approx-0{,}095560-0{,}082887\approx-0{,}178447,
c_{6}\approx\frac{-0{,}001934}{-0{,}178447}\approx0{,}010838.
Avaliar f(c_{6}):
f(0{,}010838)\approx0{,}043468\\ (>0).
  • Sinal positivo: novo intervalo [a_{5},c_{6}]=[-0{,}024038,\,0{,}010838].
  • Como a permaneceu, aplicamos f(a)\leftarrow f(a)/2\approx-0{,}095560/2=-0{,}047780.

Passo 9

Sétima iteração.
  • a_{6}=-0{,}024038 com f(a_{6}) reduzido \approx-0{,}047780.
  • b_{6}=0{,}010838 com f(b_{6})\approx0{,}043468.
Calcular c_{7}:
\text{numerador}\approx0{,}010838\cdot(-0{,}047780)-(-0{,}024038)\cdot0{,}043468\approx0{,}0005255,
\text{denominador}\approx-0{,}047780-0{,}043468\approx-0{,}091248,
c_{7}\approx\frac{0{,}0005255}{-0{,}091248}\approx-0{,}005760.
Avaliar f(c_{7}):
f(-0{,}005760)\approx-0{,}023007\\ (<0).
  • Sinal negativo: novo intervalo [c_{7},b_{6}]=[-0{,}005760,\,0{,}010838].
  • Como b permaneceu, aplicamos f(b)\leftarrow f(b)/2\approx0{,}043468/2=0{,}021734.

Passo 10

Oitava iteração.
  • a_{7}=-0{,}005760 com f(a_{7})\approx-0{,}023007.
  • b_{7}=0{,}010838 com f(b_{7}) reduzido \approx0{,}021734.
Calcular c_{8}:
\text{numerador}\approx0{,}010838\cdot(-0{,}023007)-(-0{,}005760)\cdot0{,}021734\approx-0{,}0001238,
\text{denominador}\approx-0{,}023007-0{,}021734\approx-0{,}044741,
c_{8}\approx\frac{-0{,}0001238}{-0{,}044741}\approx0{,}002768.
Avaliar f(c_{8}):
f(0{,}002768)\approx0{,}0110795\\ (>0).
  • Sinal positivo: novo intervalo [a_{7},c_{8}]=[-0{,}005760,\,0{,}002768].
  • Como a permaneceu, aplicamos f(a)\leftarrow f(a)/2\approx-0{,}023007/2=-0{,}0115035.

Passo 11

Nona e décima iterações (mais rápidas, mostrando que estamos chegando à tolerância).
Décima iteração (continuando a estratégia):
  • A nona iteração deu c_{9}\approx-0{,}001415 com f(c_{9})\approx-0{,}0056579 (negativo).
  • Décima iteração deu c_{10}\approx0{,}0006977 com f(c_{10})\approx0{,}0027913 (positivo).
Como ainda temos |f(c_{10})|=0{,}0027913>\varepsilon=0{,}002, continuamos.
Décima primeira iteração:
  • Aplicando a fórmula com os fatores 1/2 conforme as extremidades que permaneceram, obtém-se
c_{11}\approx-0{,}0003519,
e
f(c_{11})\approx-0{,}0014075.
Aqui |f(c_{11})|\approx0{,}0014075\le0{,}002, portanto atingimos a tolerância pedida.

Resposta

x\approx-0{,}0003519 (aproximação do zero com |f(x)|\le0{,}002).

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