A função
é classificada como uma função contínua. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo
:
[-1:1]
[-1:1]
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pede-se determinar um zero (uma raiz) da função
usando o método da posição falsa modificada (FPM) com tolerância . - A função dada é
. - O intervalo inicial dado é
. - Informação útil imediata (vou calcular os sinais nas extremidades):
-
. -
.
-
Portanto há mudança de sinal em
e existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. O objetivo é aproximá-la com o método de posição falsa modificada até que
.
Passo 2
Breve explicação didática do método da posição falsa modificada (FPM, também conhecido como método de Illinois) e a fórmula usada.
- Ideia do método (versão clássica): a posição falsa constrói em cada iteração um ponto
que é a interseção da reta que liga a com o eixo . A fórmula é
- Problema da versão simples: se uma extremidade permanece sempre com mesmo sinal por muitas iterações, a convergência pode ficar muito lenta (stagnation).
- Modificação usada (Illinois): sempre que uma extremidade não for atualizada numa iteração (isto é, permanecer como antes), na iteração seguinte usa-se metade do seu valor da função na interpolação (multiplica-se por
). Esse fator reduz o peso da extremidade que “está emperrada” e acelera a convergência. - Critério de parada escolhido aqui (comun e adequado): parar quando
. - Fórmula que vou aplicar em cada iteração (lembrando de aplicar possível fator
ao de uma extremidade que permaneceu):
Vou aplicar passo a passo as iterações, mostrando os cálculos e indicando quando um
foi dividido por
por causa da modificação.
Passo 3
Inicialização e primeira iteração.
- Extremidades iniciais:
, . - Valores:
, .
Calcular
pela fórmula:
Avaliar
:
- Sinal:
(mesmo sinal de ), logo o novo intervalo é . - Como
permaneceu igual (não foi substituído), aplicamos a modificação: para a próxima interpolação usaremos .
Passo 4
Segunda iteração (usando
reduzido).
- Agora
, . - Usamos
(valor exato) e o reduzido .
Calcular
:
Avaliar
(decimal):
- Sinal: positivo, portanto novo intervalo é
. - Como
permaneceu (não foi trocado nesta iteração), aplicamos a modificação: para a próxima interpolação usaremos .
Passo 5
Terceira iteração.
-
com reduzido . -
com .
Calcular
(usando os valores possivelmente reduzidos):
Avaliar
:
- Sinal negativo: novo intervalo
. - Como
permaneceu, aplicamos o fator a : .
Passo 6
Quarta iteração.
-
com . -
com reduzido .
Calcular
:
Avaliar
:
- Sinal positivo: novo intervalo
. - Como
permaneceu, aplicamos .
Passo 7
Quinta iteração.
-
com reduzido . -
com .
Calcular
:
Avaliar
:
- Sinal negativo: novo intervalo
. - Como
permaneceu, aplicamos .
Passo 8
Sexta iteração.
-
com . -
com reduzido .
Calcular
:
Avaliar
:
- Sinal positivo: novo intervalo
. - Como
permaneceu, aplicamos .
Passo 9
Sétima iteração.
-
com reduzido . -
com .
Calcular
:
Avaliar
:
- Sinal negativo: novo intervalo
. - Como
permaneceu, aplicamos .
Passo 10
Oitava iteração.
-
com . -
com reduzido .
Calcular
:
Avaliar
:
- Sinal positivo: novo intervalo
. - Como
permaneceu, aplicamos .
Passo 11
Nona e décima iterações (mais rápidas, mostrando que estamos chegando à tolerância).
Décima iteração (continuando a estratégia):
- A nona iteração deu
com (negativo). - Décima iteração deu
com (positivo).
Como ainda temos
, continuamos.
Décima primeira iteração:
- Aplicando a fórmula com os fatores
conforme as extremidades que permaneceram, obtém-se
e
Aqui
, portanto atingimos a tolerância pedida.