1. Utilizando o método de Newton-Raphson, encontre as raízes da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln (\mathrm{x})+\mathrm{x}, no intervalo [0,1] e \varepsilon=0,005.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln(\mathrm{x})+\mathrm{x} no intervalo [0,1] usando o método de Newton-Raphson com tolerância \varepsilon=0,005.
Informações dadas:
  • A função é \mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln(\mathrm{x})+\mathrm{x}.
  • Intervalo considerado: [0,1].
  • Critério de parada: diferença entre iterações consecutivas menor que \varepsilon=0,005.
Observação importante (apenas para saber que há solução no intervalo): \lim_{x\to0^+}\ln x = -\infty e \mathrm{f}(1)=\ln(1)+1=1>0, logo por continuidade existe pelo menos uma raiz em (0,1). Vou procurar essa raiz com Newton-Raphson.

Passo 2

Explicando o método de Newton-Raphson (aula rápida e prática).
  • Objetivo: obter sucessivas aproximações x_0,x_1,x_2,\dots que convergem para a raiz x^* de \mathrm{f}(x).
  • Fórmula do método:
x_{n+1}=x_n-\frac{\mathrm{f}(x_n)}{\mathrm{f}'(x_n)}.
  • Significado das quantidades:
    • \mathrm{f}(x_n) é o valor da função na aproximação atual.
    • \mathrm{f}'(x_n) é a derivada da função no ponto x_n.
    • A fração \dfrac{\mathrm{f}(x_n)}{\mathrm{f}'(x_n)} é a correção aplicada a x_n para obter x_{n+1}.
Para a nossa função:
  • Derivada:
\mathrm{f}'(x)=\frac{d}{dx}\big(\ln x + x\big)=\frac{1}{x}+1=\frac{1+x}{x}.
  • Assim a iteração fica:
x_{n+1}=x_n-\frac{\ln(x_n)+x_n}{\dfrac{1+x_n}{x_n}} = x_n - x_n\frac{\ln(x_n)+x_n}{1+x_n}.
Essa forma é útil porque evita dividir por frações duas vezes — é a mesma coisa, só escrita de modo prático.

Passo 3

Escolha do palpite inicial x_0.
  • Deve ser um ponto no intervalo [0,1]. Uma escolha simples e prática é x_0=1 (extremo do intervalo), porque \mathrm{f}(1)=1 é fácil de calcular e a derivada em 1 é \mathrm{f}'(1)=2, não nula (condição necessária para Newton).
  • Vou usar x_0=1.

Passo 4

Aplicando as iterações passo a passo (com contas explicadas). Vou parar quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon=0,005.
Iteração 0 → 1:
x_0=1.
Calcule \mathrm{f}(x_0) e \mathrm{f}'(x_0):
\mathrm{f}(1)=\ln(1)+1=0+1=1, \qquad \mathrm{f}'(1)=\frac{1}{1}+1=2.
Aplicando a fórmula:
x_1 = 1 - \frac{1}{2} = 0,5.
Diferença: |x_1-x_0|=|0,5-1|=0,5 (ainda maior que \varepsilon).
Iteração 1 → 2:
x_1=0,5.
Calcule \mathrm{f}(x_1) e \mathrm{f}'(x_1):
\mathrm{f}(0,5)=\ln(0,5)+0,5 = -\ln 2 + 0,5 \approx -0,69314718056 + 0,5 = -0,19314718056,
\mathrm{f}'(0,5)=\frac{1}{0,5}+1=2+1=3.
Aplicando a fórmula (mostrando a conta):
x_2 = 0,5 - \frac{-0,19314718056}{3} = 0,5 + 0,06438239352 = 0,56438239352.
Diferença: |x_2-x_1|=|0,56438239352-0,5|=0,06438239352 (ainda maior que \varepsilon).
Iteração 2 → 3:
x_2\approx 0,56438239352.
Calcule \mathrm{f}(x_2) e \mathrm{f}'(x_2). Usando as fórmulas:
\mathrm{f}(x_2)=\ln(x_2)+x_2 \approx -0,00763\quad(\text{aproximação numérica}),çãé
\mathrm{f}'(x_2)=\frac{1}{x_2}+1\approx 1,771767938 + 1 = 2,771767938.
(Explanação curta: o valor de \mathrm{f}(x_2) é pequeno e negativo porque x_2 já está bem perto da raiz; cálculos numéricos detalhados podem usar uma calculadora para a ln.)
Aplicando a fórmula:
x_3 = x_2 - \frac{\mathrm{f}(x_2)}{\mathrm{f}'(x_2)} \approx 0,56438239352 - \frac{-0,00763}{2,771767938} \approx 0,56438239352 + 0,0027527 \approx 0,567135093.
Diferença: |x_3-x_2|\approx 0,0027527.

Passo 5

Verificação do critério de parada e conclusão.
  • Comparando |x_3-x_2|\approx 0,00275 com \varepsilon=0,005, temos |x_3-x_2|<\varepsilon. Portanto podemos parar: a aproximação x_3\approx 0,567135093 satisfaz o critério pedido.
  • Comentário encorajador: já na terceira iteração a diferença ficou bem pequena — Newton converge rápido quando a derivada não é nula e o palpite está razoavelmente perto.
Observação curiosa (não necessária para a prova, só pra interesse): a equação \ln x + x = 0 tem solução conhecida como x=W(1) (constante de Lambert W), cujo valor mais preciso é x^\ast\approx 0,5671432904. Nossa aproximação 0,567135093 está muito próxima disso, e atende ao critério \varepsilon=0,005.

Resposta

x \approx 0,567135093

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