- Utilizando o método de Newton-Raphson, encontre as raízes da função
, no intervalo
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as raízes da função
no intervalo
usando o método de Newton-Raphson com tolerância
.
Informações dadas:
- A função é
. - Intervalo considerado:
. - Critério de parada: diferença entre iterações consecutivas menor que
.
Observação importante (apenas para saber que há solução no intervalo):
e
, logo por continuidade existe pelo menos uma raiz em
. Vou procurar essa raiz com Newton-Raphson.
Passo 2
Explicando o método de Newton-Raphson (aula rápida e prática).
- Objetivo: obter sucessivas aproximações
que convergem para a raiz de . - Fórmula do método:
- Significado das quantidades:
-
é o valor da função na aproximação atual. -
é a derivada da função no ponto . - A fração
é a correção aplicada a para obter .
-
Para a nossa função:
- Derivada:
- Assim a iteração fica:
Essa forma é útil porque evita dividir por frações duas vezes — é a mesma coisa, só escrita de modo prático.
Passo 3
Escolha do palpite inicial
.
- Deve ser um ponto no intervalo
. Uma escolha simples e prática é (extremo do intervalo), porque é fácil de calcular e a derivada em é , não nula (condição necessária para Newton). - Vou usar
.
Passo 4
Aplicando as iterações passo a passo (com contas explicadas). Vou parar quando
.
Iteração 0 → 1:
Calcule
e
:
Aplicando a fórmula:
Diferença:
(ainda maior que
).
Iteração 1 → 2:
Calcule
e
:
Aplicando a fórmula (mostrando a conta):
Diferença:
(ainda maior que
).
Iteração 2 → 3:
Calcule
e
. Usando as fórmulas:
(Explanação curta: o valor de
é pequeno e negativo porque
já está bem perto da raiz; cálculos numéricos detalhados podem usar uma calculadora para a ln.)
Aplicando a fórmula:
Aplicando a fórmula:
Diferença:
.
Passo 5
Verificação do critério de parada e conclusão.
- Comparando
com , temos . Portanto podemos parar: a aproximação satisfaz o critério pedido. - Comentário encorajador: já na terceira iteração a diferença ficou bem pequena — Newton converge rápido quando a derivada não é nula e o palpite está razoavelmente perto.
Observação curiosa (não necessária para a prova, só pra interesse): a equação
tem solução conhecida como
(constante de Lambert W), cujo valor mais preciso é
. Nossa aproximação
está muito próxima disso, e atende ao critério
.