A função f(x)=x^{2}+5 x-1=0 tem uma raiz no intervalo ( 0 ; 0,5 ). Verifique primeiramente quais dos processos iterativos (Método do Ponto Fixo) abaixo podem ser usados, com sucesso, para obtê-la:
(i) x_{k+1}=\varphi\left(x_{k}\right)=\frac{1-x_{k}^{2}}{5};
(ii) x_{k+1}=\varphi\left(x_{k}\right)=\frac{1-5 x_{k}}{x_{k}};
(iii) x_{k+1}=\varphi\left(x_{k}\right)=\sqrt{1-5 x_{k}}.
Em seguida, utilizando o método do ponto fixo com a \varphi(x) escolhida, encontre uma aproximação para o zero de f(x), com erro relativo menor que 0,005 .

Passo 1

O problema pede duas coisas:
  • Verificar, para cada uma das três funções dadas, se o método do ponto fixo pode ser usado com sucesso para obter a raiz de f(x)=x^{2}+5x-1 que está no intervalo (0;0,5). As iterações propostas são:
    • (i) \varphi_{1}(x)=\dfrac{1-x^{2}}{5};
    • (ii) \varphi_{2}(x)=\dfrac{1-5x}{x};
    • (iii) \varphi_{3}(x)=\sqrt{1-5x}.
  • Escolher a \varphi adequada e, usando o método do ponto fixo, calcular uma aproximação da raiz com erro relativo menor que 0,005.
Informações dadas importantes:
  • A raiz procurada pertence ao intervalo (0;0,5).
  • A função f é quadrática e tem raiz exata
r=\frac{-5+\sqrt{29}}{2}\approx 0,1925824035.

Passo 2

Breve explicação (didática) do método do ponto fixo e do critério de convergência que vamos usar.
  • Ideia: transformar f(x)=0 numa equação x=\varphi(x). Se a iteração
x_{k+1}=\varphi(x_k)
converge, o limite x^\ast satisfará x^\ast=\varphi(x^\ast), ou seja é uma raiz de f.
  • Critério prático (Teorema do ponto fixo de Banach, versão aplicada): seja um intervalo fechado I=[a,b] tal que
    1. \varphi(I)\subset I (isto é, \varphi envia I em si);
    2. \varphi é diferenciável em I e existe L com 0\le L<1 tal que |\varphi'(x)|\le L para todo x\in I.
      Então \varphi é uma contração em I e a iteração converge, para qualquer x_0\in I, linearmente ao ponto fixo único em I.
  • Como usar na prática:
    • Calcular \varphi'(x) e estimar L=\max_{x\in I}|\varphi'(x)|.
    • Verificar \varphi(I)\subset I checando os valores extremos de \varphi em I.
    • Se as condições valem, podemos iterar. Há também uma estimativa de erro a priori:
    |x_k-r|\le \frac{L^{k}}{1-L}\,|x_1-x_0|,
    onde r é o ponto fixo (raiz) e x_0 é a aproximação inicial.
Vou aplicar esse critério às três \varphi.

Passo 3

Análise da iteração (i): \varphi_{1}(x)=\dfrac{1-x^{2}}{5}.
  • Derivada:
\varphi_{1}'(x)=-\frac{2x}{5}.
No intervalo I=[0,0,5] temos |\varphi_{1}'(x)|=\frac{2x}{5}\le \frac{2\cdot0,5}{5}=\frac{1}{5}=0,2.
Logo podemos tomar L=0,2<1.
  • Verificação de \varphi_{1}(I)\subset I:
    • \varphi_{1}(0)=\dfrac{1-0}{5}=\dfrac{1}{5}=0,2.
    • \varphi_{1}(0,5)=\dfrac{1-(0,5)^{2}}{5}=\dfrac{1-0,25}{5}=\dfrac{0,75}{5}=0,15.
      Os valores de \varphi_{1} para x\in[0,0,5] estão entre 0,15 e 0,2, portanto dentro de [0,0,5].
Conclusão: (i) satisfaz as condições do teorema (é uma contração em [0,0,5]) e, portanto, a iteração com \varphi_{1} converge ao ponto fixo (a raiz) para qualquer x_{0}\in[0,0,5].

Passo 4

Análise da iteração (ii): \varphi_{2}(x)=\dfrac{1-5x}{x}= \dfrac{1}{x}-5.
  • Domínio: x\neq 0. No intervalo (0,0,5] a função está definida, exceto exatamente em 0.
  • Derivada:
\varphi_{2}'(x)=-\frac{1}{x^{2}}.
Em (0,0,5] temos |\varphi_{2}'(x)|=\dfrac{1}{x^{2}}. Mesmo no ponto x=0,5 isso dá \dfrac{1}{(0,5)^{2}}=4>1. Ao aproximar-se de 0, |\varphi_{2}'(x)|\to\infty. Em particular, no entorno da raiz r\approx 0,1926 tem-se |\varphi_{2}'(r)|\approx \dfrac{1}{(0,1926)^{2}}\gg 1.
Conclusão: (ii) não é uma contração no intervalo que contém a raiz (o módulo da derivada é maior do que 1), portanto não garante convergência pelo critério do ponto fixo. Mesmo que numericamente \varphi_{2}(r)=r (é uma reescrita algebraica), a iteração tende a divergir ou oscilar na prática por causa da grande inclinação; logo (ii) não é adequada.

Passo 5

Análise da iteração (iii): \varphi_{3}(x)=\sqrt{1-5x}.
  • Domínio real: requer 1-5x\ge 0, ou seja x\le 0,2. A raiz r\approx 0,19258 satisfaz r<0,2, então a função está definida no entorno da raiz, mas apenas em intervalos com x\le 0,2.
  • Derivada (para x<0,2, com raiz quadrada positiva):
\varphi_{3}'(x)=-\frac{5}{2\sqrt{1-5x}}.
O módulo é |\varphi_{3}'(x)|=\dfrac{5}{2\sqrt{1-5x}}. Para x em [0,0,2) o menor denominador ocorre quando x é maior (perto de 0,2), então o módulo é grande perto de 0,2. Mesmo em x=0 tem-se |\varphi_{3}'(0)|=\dfrac{5}{2}=2,5>1. No ponto próximo à raiz, com x\approx 0,1926, \sqrt{1-5x} é pequeno (da ordem de 0,19) e o módulo de \varphi_3' é muito maior que 1. Assim |\varphi_{3}'(x)|>1 em todo o domínio relevante.
  • Além disso, \varphi_{3}(0)=1, que não pertence a [0,0,5], então \varphi_{3} não envia um intervalo natural contendo a raiz em si mesmo.
Conclusão: (iii) também não satisfaz as condições de contração (derivada de módulo maior que 1 e problemas de mapeamento), portanto não é adequada.

Passo 6

Resumo da escolha: apenas (i) é adequada para aplicar o método do ponto fixo com garantia de convergência.
Agora executar a iteração com \varphi_{1}. Vou escolher como ponto inicial x_{0}=0 (está em [0,0,5] e simplifica cálculos). A iteração é
x_{k+1}=\varphi_{1}(x_k)=\frac{1-x_k^{2}}{5}.
Calculemos os primeiros termos (com detalhes aritméticos para poder fazer na prova sem calculadora, quando possível):
  • x_{0}=0.
  • x_{1}=\dfrac{1-0^{2}}{5}=\dfrac{1}{5}=0,2.
  • x_{2}=\dfrac{1-(0,2)^{2}}{5}=\dfrac{1-0,04}{5}=\dfrac{0,96}{5}=\dfrac{24}{125}=0,192.
Comparação com a raiz exata r=\dfrac{-5+\sqrt{29}}{2}\approx 0,1925824035:
  • Erro absoluto em x_{2}:
|x_{2}-r| \approx |0,192-0,1925824035| \approx 0,0005824035.
  • Erro relativo:
\frac{|x_{2}-r|}{|r|}\approx \frac{0,0005824035}{0,1925824035}\approx 0,003025\ldots
que é menor que 0,005.
Portanto x_{2}=\dfrac{24}{125}=0,192 já satisfaz o critério de erro relativo pedido.
Comentário sobre a rapidez: como já verificamos |\varphi_{1}'(x)|\le L=0,2, a convergência é rápida (fator de contração 0,2). A estimativa a priori também confirma que não são necessárias muitas iterações. Por exemplo, com x_{0}=0,
|x_{2}-r|\le \frac{L^{2}}{1-L}\,|x_{1}-x_{0}|=\frac{0,2^{2}}{1-0,2}\cdot 0,2=\frac{0,04}{0,8}\cdot 0,2=0,01,
que é um limite grosseiro (mas confirma que o erro já é pequeno); a verificação numérica mostrou erro muito menor.

Resposta

Somente (i) pode ser usada com sucesso.
x\approx 0,192 (valor x_{2}=24/125), que satisfaz erro relativo menor que 0,005.

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