A função
tem uma raiz no intervalo (
). Verifique primeiramente quais dos processos iterativos (Método do Ponto Fixo) abaixo podem ser usados, com sucesso, para obtê-la:
(i)
;
(ii)
;
(iii)
.
Em seguida, utilizando o método do ponto fixo com a
escolhida, encontre uma aproximação para o zero de
, com erro relativo menor que 0,005 .
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
O problema pede duas coisas:
- Verificar, para cada uma das três funções dadas, se o método do ponto fixo pode ser usado com sucesso para obter a raiz de
que está no intervalo . As iterações propostas são: - (i)
; - (ii)
; - (iii)
.
- (i)
- Escolher a
adequada e, usando o método do ponto fixo, calcular uma aproximação da raiz com erro relativo menor que .
Informações dadas importantes:
- A raiz procurada pertence ao intervalo
. - A função
é quadrática e tem raiz exata
Passo 2
Breve explicação (didática) do método do ponto fixo e do critério de convergência que vamos usar.
- Ideia: transformar
numa equação . Se a iteração
converge, o limite
satisfará
, ou seja é uma raiz de
.
-
Critério prático (Teorema do ponto fixo de Banach, versão aplicada): seja um intervalo fechado
tal que -
(isto é, envia em si); -
é diferenciável em e existe com tal que para todo .
Entãoé uma contração em e a iteração converge, para qualquer , linearmente ao ponto fixo único em .
-
-
Como usar na prática:
- Calcular
e estimar . - Verificar
checando os valores extremos de em . - Se as condições valem, podemos iterar. Há também uma estimativa de erro a priori:
ondeé o ponto fixo (raiz) e é a aproximação inicial. - Calcular
Vou aplicar esse critério às três
.
Passo 3
Análise da iteração (i):
.
- Derivada:
No intervalo
temos
.
Logo podemos tomar .
Logo podemos tomar
- Verificação de
: -
. -
.
Os valores depara estão entre e , portanto dentro de .
-
Conclusão: (i) satisfaz as condições do teorema (é uma contração em
) e, portanto, a iteração com
converge ao ponto fixo (a raiz) para qualquer
.
Passo 4
Análise da iteração (ii):
.
-
Domínio:
. No intervalo a função está definida, exceto exatamente em . -
Derivada:
Em
temos
. Mesmo no ponto
isso dá
. Ao aproximar-se de
,
. Em particular, no entorno da raiz
tem-se
.
Conclusão: (ii) não é uma contração no intervalo que contém a raiz (o módulo da derivada é maior do que
), portanto não garante convergência pelo critério do ponto fixo. Mesmo que numericamente
(é uma reescrita algebraica), a iteração tende a divergir ou oscilar na prática por causa da grande inclinação; logo (ii) não é adequada.
Passo 5
Análise da iteração (iii):
.
-
Domínio real: requer
, ou seja . A raiz satisfaz , então a função está definida no entorno da raiz, mas apenas em intervalos com . -
Derivada (para
, com raiz quadrada positiva):
O módulo é
. Para
em
o menor denominador ocorre quando
é maior (perto de
), então o módulo é grande perto de
. Mesmo em
tem-se
. No ponto próximo à raiz, com
,
é pequeno (da ordem de
) e o módulo de
é muito maior que
. Assim
em todo o domínio relevante.
- Além disso,
, que não pertence a , então não envia um intervalo natural contendo a raiz em si mesmo.
Conclusão: (iii) também não satisfaz as condições de contração (derivada de módulo maior que
e problemas de mapeamento), portanto não é adequada.
Passo 6
Resumo da escolha: apenas (i) é adequada para aplicar o método do ponto fixo com garantia de convergência.
Agora executar a iteração com
. Vou escolher como ponto inicial
(está em
e simplifica cálculos). A iteração é
Calculemos os primeiros termos (com detalhes aritméticos para poder fazer na prova sem calculadora, quando possível):
-
. -
-
Comparação com a raiz exata
:
- Erro absoluto em
:
- Erro relativo:
que é menor que
.
Portanto
já satisfaz o critério de erro relativo pedido.
Comentário sobre a rapidez: como já verificamos
, a convergência é rápida (fator de contração
). A estimativa a priori também confirma que não são necessárias muitas iterações. Por exemplo, com
,
que é um limite grosseiro (mas confirma que o erro já é pequeno); a verificação numérica mostrou erro muito menor.
Resposta
Somente (i) pode ser usada com sucesso.