Seja f(x)=x-1-\operatorname{sen}(x). Provar que a equação f(x)=0 possui uma única raiz real. Localizar esta raiz com um intervalo de comprimento 0.5 .

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=x-1-\sin(x).
Pede-se:
  • provar que a equação f(x)=0 possui exatamente uma raiz real;
  • localizar essa raiz dentro de um intervalo de comprimento 0{,}5.
Informações relevantes fornecidas:
  • a expressão explícita de f(x);
  • não há outras restrições (procura-se raiz real em todo \mathbb{R}).

Passo 2

Primeiro vamos garantir que existe pelo menos uma raiz. Para isso usamos o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Antes, lembrando o TVI: se uma função é contínua num intervalo [a,b] e toma sinais opostos em a e b, então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
Verificações:
  • f é soma de funções elementares polinomiais e trigonométricas, logo é contínua em \mathbb{R}.
  • Calcular f em dois pontos para detectar mudança de sinal. Em x=0:
f(0)=0-1-\sin(0)=-1<0.
Em x=2:
f(2)=2-1-\sin(2)=1-\sin(2).
Sabendo que \sin(2)\approx0{,}90930 temos
f(2)\approx1-0{,}90930=0{,}09070>0.
Como f(0)<0 e f(2)>0 e f é contínua, pelo TVI existe pelo menos um x^\ast\in(0,2) tal que f(x^\ast)=0. Portanto existe pelo menos uma raiz real.

Passo 3

Agora vamos estudar o comportamento monotônico de f para controlar o número de raízes. Calculamos a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x-1-\sin x\bigr)=1-\cos x.
Explicação do que isso significa:
  • \cos x varia entre -1 e 1 para todo x.
  • Logo 1-\cos x\ge 0 para todo x, com igualdade exatamente quando \cos x=1, isto é, em x=2k\pi ( k\in\mathbb{Z}).
Conclusão: f'(x)\ge0 em \mathbb{R}, portanto f é uma função não decrescente (ou seja, nunca diminui). Em palavras: ao avançar na reta real x a função f(x) não diminui.

Passo 4

Provar que a raiz é única. Estratégia: usar que f é não decrescente e um argumento por contradição com o Teorema de Rolle.
Suponha, para contradizer, que existam duas raízes distintas a<b com f(a)=f(b)=0. Como f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), o Teorema de Rolle garante a existência de c\in(a,b) tal que f'\text{(c)}=0. Mas f'\text{(c)}=0 implica 1-\cos c=0 e portanto \cos c=1, logo c=2k\pi para algum k\in\mathbb{Z}.
Por outro lado, como f é não decrescente e f(a)=f(b)=0, os valores de f sobre [a,b] estão entre f(a) e f(b), isto é, todos iguais a 0. Em particular f\text{(c)}=0. Mas avaliando f nesse ponto obtém-se
f(2k\pi)=2k\pi-1-\sin(2k\pi)=2k\pi-1.
Então f(2k\pi)=0 implicaria 2k\pi-1=0, ou seja 2k\pi=1, o que é impossível pois 2k\pi é múltiplo de 2\pi e não pode ser igual a 1. Isso é a contradição que mostra que não podem existir duas raízes distintas.
Como já provamos existência (Passo 2) e agora mostramos que não pode haver mais de uma, concluímos que existe exatamente uma raiz real de f(x)=0.

Passo 5

Agora localizar a raiz dentro de um intervalo de comprimento 0{,}5. Já vimos que a raiz x^\ast pertence a (0,2). Vamos testar sinais em x=1{,}5 e x=2:
Calcular f(1{,}5):
\sin(1{,}5)\approx0{,}99749, \qquad f(1{,}5)=1{,}5-1-\sin(1{,}5)=0{,}5-\sin(1{,}5)\approx0{,}5-0{,}99749\approx-0{,}49749<0.
Recordando f(2)\approx0{,}09070>0 do Passo 2, temos f(1{,}5)<0 e f(2)>0. Pelo Teorema do Valor Intermediário (pela continuidade) existe assim pelo menos um zero em (1{,}5,2).
Como a raiz é única, esse zero em (1{,}5,2) é justamente a única raiz x^\ast. O intervalo [1{,}5,2] tem comprimento
2-1{,}5=0{,}5,
portanto é um intervalo de comprimento 0{,}5 que contém a raiz procurada.

Passo 6

Resumo prático (dicas para a prova, curtinho e amigo): para equações do tipo x-1-\sin x=0 primeiro procura mudança de sinal em pontos simples; depois verifica monotonicidade com f' para garantir unicidade; por fim escolhe um par de pontos com distância 0{,}5 que tenham sinais opostos (aqui 1{,}5 e 2 funcionaram). Força aí — com esse roteiro dá pra aplicar rápido em prova.

Resposta

[1{,}5,2]

Exercícios relacionados