Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real. Localizar esta raiz com um intervalo de comprimento 0.5 .
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede-se:
- provar que a equação
possui exatamente uma raiz real; - localizar essa raiz dentro de um intervalo de comprimento
.
Informações relevantes fornecidas:
- a expressão explícita de
; - não há outras restrições (procura-se raiz real em todo
).
Passo 2
Primeiro vamos garantir que existe pelo menos uma raiz. Para isso usamos o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Antes, lembrando o TVI: se uma função é contínua num intervalo
e toma sinais opostos em
e
, então existe
tal que
.
Verificações:
-
é soma de funções elementares polinomiais e trigonométricas, logo é contínua em . - Calcular
em dois pontos para detectar mudança de sinal. Em :
Em
:
Sabendo que
temos
Como
e
e
é contínua, pelo TVI existe pelo menos um
tal que
. Portanto existe pelo menos uma raiz real.
Passo 3
Agora vamos estudar o comportamento monotônico de
para controlar o número de raízes. Calculamos a derivada:
Explicação do que isso significa:
-
varia entre e para todo . - Logo
para todo , com igualdade exatamente quando , isto é, em ( ).
Conclusão:
em
, portanto
é uma função não decrescente (ou seja, nunca diminui). Em palavras: ao avançar na reta real
a função
não diminui.
Passo 4
Provar que a raiz é única. Estratégia: usar que
é não decrescente e um argumento por contradição com o Teorema de Rolle.
Suponha, para contradizer, que existam duas raízes distintas
com
. Como
é contínua em
e diferenciável em
, o Teorema de Rolle garante a existência de
tal que
. Mas
implica
e portanto
, logo
para algum
.
Por outro lado, como
é não decrescente e
, os valores de
sobre
estão entre
e
, isto é, todos iguais a
. Em particular
. Mas avaliando
nesse ponto obtém-se
Então
implicaria
, ou seja
, o que é impossível pois
é múltiplo de
e não pode ser igual a
. Isso é a contradição que mostra que não podem existir duas raízes distintas.
Como já provamos existência (Passo 2) e agora mostramos que não pode haver mais de uma, concluímos que existe exatamente uma raiz real de
.
Passo 5
Agora localizar a raiz dentro de um intervalo de comprimento
. Já vimos que a raiz
pertence a
. Vamos testar sinais em
e
:
Calcular
:
Recordando
do Passo 2, temos
e
. Pelo Teorema do Valor Intermediário (pela continuidade) existe assim pelo menos um zero em
.
Como a raiz é única, esse zero em
é justamente a única raiz
. O intervalo
tem comprimento
portanto é um intervalo de comprimento
que contém a raiz procurada.
Passo 6
Resumo prático (dicas para a prova, curtinho e amigo): para equações do tipo
primeiro procura mudança de sinal em pontos simples; depois verifica monotonicidade com
para garantir unicidade; por fim escolhe um par de pontos com distância
que tenham sinais opostos (aqui
e
funcionaram). Força aí — com esse roteiro dá pra aplicar rápido em prova.