Utilize o Método da Secante para encontrar a raiz de
, no intervalo
, com erro relativo menor que 0,005 .
Passo 1
O enunciado pede: usar o Método da Secante para encontrar uma raiz de
no intervalo
com erro relativo menor que
.
Informações dadas:
- A função é
. - Intervalo onde buscar a raiz:
. Vou usar as extremidades como palpites iniciais para a secante: -
- Tolerância no erro relativo desejada:
.
Valores que peguei do enunciado:
Passo 2
Explicação do Método da Secante (fórmula e critério de parada).
- Ideia: aproximar a curva
por uma reta que passa pelos pontos e ; a interseção dessa reta com o eixo é o próximo aproximante . - Fórmula da secante (versão usada aqui):
- Variáveis:
-
são os dois últimos aproximantes conhecidos, -
são os valores da função nesses pontos, -
é o novo aproximante.
-
- Critério de parada (erro relativo aproximado): em cada passo calculo
Paro quando
.
Passo 3
Primeira avaliação nos extremos (peguei estes valores dos pontos iniciais do enunciado):
Usando
e
na fórmula da secante:
Avalio a função em
:
Erro relativo aproximado entre
e
:
Ainda não satisfaz a tolerância, continuo.
Passo 4
Próita iteração com
e
:
Fazendo as contas com frações dá (mostrando detalhe útil):
Logo
Avalio
exatamente:
Erro relativo entre
e
:
Ainda não.
Passo 5
Agora uso
e
para obter
. Aplicando a fórmula e simplificando (mostrando passos simbólicos já feitos):
o termo de atualização calculado resulta em aproximadamente , portanto
o termo de atualização calculado resulta em aproximadamente
Avalio
(cálculo aproximado mostrado):
Erro relativo entre
e
:
Ainda não.
Passo 6
Próxima iteração com
e
:
aplicando a fórmula da secante obtemos
aplicando a fórmula da secante obtemos
Avalio
:
Erro relativo entre
e
:
Ainda ligeiramente maior que
, portanto continuo mais uma iteração.
Passo 7
Com
e
aplico a secante:
calculei o termo de correção e obtive
calculei o termo de correção e obtive
Calculo do erro relativo entre
e
:
Como o erro relativo já é menor que a tolerância pedida, posso parar aqui.
Passo 8
Interpretação final: o Método da Secante, partindo de
e
, convergiu para a raiz aproximada
com erro relativo aproximadamente
, que é menor que
.
Força aí — a ideia prática para a prova: comece com os extremos do intervalo, aplique a fórmula da secante passo a passo, calcule
e o erro relativo
e pare quando ficar abaixo da tolerância. Neste exemplo foram necessárias 6 iterações (contando
e
como iniciais) para alcançar a precisão pedida.