Utilize o Método da Secante para encontrar a raiz de f(x)=x^{3}+3 x^{2}-1=0, no intervalo [-3,-2], com erro relativo menor que 0,005 .

Passo 1

O enunciado pede: usar o Método da Secante para encontrar uma raiz de f(x)=x^{3}+3x^{2}-1=0 no intervalo [-3,-2] com erro relativo menor que 0,005.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}+3x^{2}-1.
  • Intervalo onde buscar a raiz: [-3,-2]. Vou usar as extremidades como palpites iniciais para a secante:
    • x_{0}=-3
    • x_{1}=-2
  • Tolerância no erro relativo desejada: 0,005.
Valores que peguei do enunciado:
  • x_{0}=-3
  • x_{1}=-2

Passo 2

Explicação do Método da Secante (fórmula e critério de parada).
  • Ideia: aproximar a curva y=f(x) por uma reta que passa pelos pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_{n},f(x_{n})); a interseção dessa reta com o eixo x é o próximo aproximante x_{n+1}.
  • Fórmula da secante (versão usada aqui):
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\cdot\frac{x_{n}-x_{n-1}}{\,f(x_{n})-f(x_{n-1})\,}.
  • Variáveis:
    • x_{n-1},x_{n} são os dois últimos aproximantes conhecidos,
    • f(x_{n-1}),f(x_{n}) são os valores da função nesses pontos,
    • x_{n+1} é o novo aproximante.
  • Critério de parada (erro relativo aproximado): em cada passo calculo
\varepsilon_{\text{rel}}=\frac{|x_{n+1}-x_{n}|}{|x_{n+1}|}.
Paro quando \varepsilon_{\text{rel}}<0,005.

Passo 3

Primeira avaliação nos extremos (peguei estes valores dos pontos iniciais do enunciado):
f(-3)=(-3)^{3}+3(-3)^{2}-1=-27+27-1=-1,
f(-2)=(-2)^{3}+3(-2)^{2}-1=-8+12-1=3.
Usando x_{0}=-3 e x_{1}=-2 na fórmula da secante:
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\cdot\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})} =-2-3\cdot\frac{-2-(-3)}{3-(-1)}=-2-3\cdot\frac{1}{4}=-2,75.
Avalio a função em x_{2}:
f(-2,75)=(-2,75)^{3}+3(-2,75)^{2}-1= -20{,}796875+22{,}6875-1=0{,}890625.
Erro relativo aproximado entre x_{2} e x_{1}:
\varepsilon_{\text{rel}}=\frac{|x_{2}-x_{1}|}{|x_{2}|}=\frac{|-2{,}75-(-2)|}{2{,}75}=\frac{0{,}75}{2{,}75}\approx0{,}2727>0{,}005.
Ainda não satisfaz a tolerância, continuo.

Passo 4

Próita iteração com x_{1}=-2 e x_{2}=-2{,}75:
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\cdot\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})} =-2{,}75-0{,}890625\cdot\frac{-2{,}75-(-2)}{0{,}890625-3}.
Fazendo as contas com frações dá (mostrando detalhe útil):
0{,}890625=\frac{57}{64},\qquad x_{2}-x_{1}=-\frac{3}{4}, \qquad f(x_{2})-f(x_{1})=\frac{57}{64}-3=-\frac{135}{64}.
Logo
x_{3}=-\tfrac{11}{4}-\frac{\tfrac{57}{64}\cdot\bigl(-\tfrac{3}{4}\bigr)}{-\tfrac{135}{64}} =-\tfrac{11}{4}-\frac{57\cdot(-3)}{4\cdot(-135)}=-\tfrac{11}{4}-\tfrac{19}{60}=-\tfrac{46}{15}\approx-3{,}0666667.
Avalio f(x_{3}) exatamente:
f\!\Bigl(-\tfrac{46}{15}\Bigr)=-\tfrac{97336}{3375}+\tfrac{95220}{3375}-1=-\tfrac{5491}{3375}\approx-1{,}626962963.
Erro relativo entre x_{3} e x_{2}:
\varepsilon_{\text{rel}}=\frac{|x_{3}-x_{2}|}{|x_{3}|}=\frac{0{,}3166667}{3{,}0666667}\approx0{,}1032>0{,}005.
Ainda não.

Passo 5

Agora uso x_{2}=-2{,}75 e x_{3}=-3{,}0666667 para obter x_{4}. Aplicando a fórmula e simplificando (mostrando passos simbólicos já feitos):
o termo de atualização calculado resulta em aproximadamente 0{,}204645, portanto
x_{4}=x_{3}+0{,}204645\approx-2{,}862022.
Avalio f(x_{4}) (cálculo aproximado mostrado):
f(-2{,}862022)\approx(-2{,}862022)^{3}+3(-2{,}862022)^{2}-1\approx0{,}1301429.
Erro relativo entre x_{4} e x_{3}:
\varepsilon_{\text{rel}}=\frac{|x_{4}-x_{3}|}{|x_{4}|}=\frac{0{,}204645}{2{,}862022}\approx0{,}0715>0{,}005.
Ainda não.

Passo 6

Próxima iteração com x_{3}=-3{,}0666667 e x_{4}=-2{,}862022:
aplicando a fórmula da secante obtemos
x_{5}\approx-2{,}877179.
Avalio f(x_{5}):
f(-2{,}877179)\approx0{,}0165135.
Erro relativo entre x_{5} e x_{4}:
\varepsilon_{\text{rel}}=\frac{|x_{5}-x_{4}|}{|x_{5}|}=\frac{0{,}015157}{2{,}877179}\approx0{,}00527.
Ainda ligeiramente maior que 0{,}005, portanto continuo mais uma iteração.

Passo 7

Com x_{4}=-2{,}862022 e x_{5}=-2{,}877179 aplico a secante:
calculei o termo de correção e obtive
x_{6}\approx-2{,}879383.
Calculo do erro relativo entre x_{6} e x_{5}:
\varepsilon_{\text{rel}}=\frac{|x_{6}-x_{5}|}{|x_{6}|}=\frac{0{,}002204}{2{,}879383}\approx0{,}000766<0{,}005.
Como o erro relativo já é menor que a tolerância pedida, posso parar aqui.

Passo 8

Interpretação final: o Método da Secante, partindo de x_{0}=-3 e x_{1}=-2, convergiu para a raiz aproximada x_{6}\approx-2{,}879383 com erro relativo aproximadamente 0{,}00077, que é menor que 0{,}005.
Força aí — a ideia prática para a prova: comece com os extremos do intervalo, aplique a fórmula da secante passo a passo, calcule f e o erro relativo \frac{|x_{n+1}-x_n|}{|x_{n+1}|} e pare quando ficar abaixo da tolerância. Neste exemplo foram necessárias 6 iterações (contando x_{0} e x_{1} como iniciais) para alcançar a precisão pedida.

Resposta

-2{,}879383

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