Construa um sistema de equações lineares numérico para resolver a equação diferencial abaixo, dividindo o intervalo [-1.0,2.0] em 3 partes iguais:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}(x)+5 y=0.0 \\\ y^{\prime}(-1.0)=-0.5 \\\ y(2.0)=0.0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu construa um sistema de equações lineares numérico que aproxime a solução da equação diferencial com condições de contorno, dividindo o intervalo em 3 partes iguais. As informações dadas são:
  • A equação diferencial: y''(x) + 5\,y(x) = 0.
  • Condição de contorno de derivada (Neumann) em -1{,}0: y'(-1{,}0) = -0{,}5.
  • Condição de contorno de valor (Dirichlet) em 2{,}0: y(2{,}0) = 0{,}0.
  • Intervalo: [-1{,}0,\;2{,}0].
  • Divisão: em 3 partes iguais (logo teremos 4 nós).
O objetivo é escrever um sistema linear numérico que relacione os valores aproximados de y nos nós discretos.

Passo 2

Calculo o passo e os nós da malha. O comprimento do intervalo é 2{,}0-(-1{,}0)=3{,}0. Dividindo em 3 partes iguais, o passo é
h=\frac{3{,}0}{3}=1{,}0.
Os nós (pontos onde aproximamos y) são:
x_0=-1{,}0,\quad x_1=0{,}0,\quad x_2=1{,}0,\quad x_3=2{,}0.
Vou denotar y_i como a aproximação de y(x_i), isto é \;y_i \approx y(x_i)\; para i=0,1,2,3.

Passo 3

Aplico aproximações por diferenças finitas. Vou explicar as fórmulas que uso:
  • Aproximação central para a segunda derivada num ponto x_i:
y''(x_i)\approx\frac{y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}}{h^2}.
Aqui y_{i-1},y_i,y_{i+1} são os valores nos nós adjacentes e h é o passo. Esta fórmula vem da expansão em série de Taylor e é de segunda ordem em h.
  • Aproximação central para a derivada num ponto de contorno usando um ponto “fantasma” (ghost point): para x_0,
y'(x_0)\approx\frac{y_1-y_{-1}}{2h},
onde y_{-1} seria o valor fictício à esquerda de x_0. Vou usar a condição de contorno sobre y'(x_0) para eliminar y_{-1} e obter uma equação só com os y_i físicos.
Como h=1{,}0 as fórmulas ficam numéricas mais simples ao substituir h^2=1 e 2h=2.

Passo 4

Uso a condição de derivada em x_0=-1{,}0 para eliminar o ghost point y_{-1}. A condição é
y'(-1{,}0) = -0{,}5.
Pela aproximação central da derivada:
\frac{y_1 - y_{-1}}{2h} = -0{,}5.
Como h=1{,}0, isso dá
\frac{y_1 - y_{-1}}{2} = -0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad y_1 - y_{-1} = -1.
Isolando y_{-1}:
y_{-1} = y_1 + 1.

Passo 5

Agora monto a equação de diferenças finitas para o ponto x_0. A equação diferencial é \;y''(x_0)+5y(x_0)=0\;. Substituo a aproximação da segunda derivada com o ghost point:
\frac{y_{-1}-2y_0+y_1}{h^2} + 5y_0 = 0.
Com h^2=1 e substituindo y_{-1}=y_1+1:
(y_1+1) - 2y_0 + y_1 + 5y_0 = 0.
Agrupando termos:
2y_1 + (-2y_0 + 5y_0) + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2y_1 + 3y_0 + 1 = 0.
Reescrevendo em forma padrão:
3y_0 + 2y_1 + 0\cdot y_2 = -1.

Passo 6

Monto a equação de diferenças finitas para o nó interior x_1=0{,}0. A equação é \;y''(x_1)+5y(x_1)=0\; e pela fórmula central:
\frac{y_0 - 2y_1 + y_2}{h^2} + 5y_1 = 0.
Com h^2=1:
y_0 - 2y_1 + y_2 + 5y_1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y_0 + 3y_1 + y_2 = 0.

Passo 7

Monto a equação de diferenças finitas para o nó x_2=1{,}0. A equação é \;y''(x_2)+5y(x_2)=0\;:
\frac{y_1 - 2y_2 + y_3}{h^2} + 5y_2 = 0.
Temos a condição de contorno Dirichlet em x_3=2{,}0: \;y_3 = 0{,}0.\; Substituindo h^2=1 e y_3=0:
y_1 - 2y_2 + 0 + 5y_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y_1 + 3y_2 = 0.
Em forma com y_0,y_1,y_2: 0\cdot y_0 + 1\cdot y_1 + 3\cdot y_2 = 0.

Passo 8

Junto as três equações obtidas para os incógnitos \;y_0,y_1,y_2\;. Em forma matricial, o sistema fica
\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_0\\[4pt] y_1\\[4pt] y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\[4pt] 0\\[4pt] 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

3y_0 + 2y_1 + 0\cdot y_2 = -1
y_0 + 3y_1 + y_2 = 0
0\cdot y_0 + y_1 + 3y_2 = 0

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