O enunciado pede que eu construa um sistema de equações lineares numérico que aproxime a solução da equação diferencial com condições de contorno, dividindo o intervalo em 3 partes iguais. As informações dadas são:
A equação diferencial: y''(x) + 5\,y(x) = 0.
Condição de contorno de derivada (Neumann) em -1{,}0: y'(-1{,}0) = -0{,}5.
Condição de contorno de valor (Dirichlet) em 2{,}0: y(2{,}0) = 0{,}0.
Intervalo: [-1{,}0,\;2{,}0].
Divisão: em 3 partes iguais (logo teremos 4 nós).
O objetivo é escrever um sistema linear numérico que relacione os valores aproximados de y nos nós discretos.
Passo 2
Calculo o passo e os nós da malha. O comprimento do intervalo é 2{,}0-(-1{,}0)=3{,}0. Dividindo em 3 partes iguais, o passo é
Vou denotar y_i como a aproximação de y(x_i), isto é \;y_i \approx y(x_i)\; para i=0,1,2,3.
Passo 3
Aplico aproximações por diferenças finitas. Vou explicar as fórmulas que uso:
Aproximação central para a segunda derivada num ponto x_i:
y''(x_i)\approx\frac{y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}}{h^2}.
Aqui y_{i-1},y_i,y_{i+1} são os valores nos nós adjacentes e h é o passo. Esta fórmula vem da expansão em série de Taylor e é de segunda ordem em h.
Aproximação central para a derivada num ponto de contorno usando um ponto “fantasma” (ghost point): para x_0,
y'(x_0)\approx\frac{y_1-y_{-1}}{2h},
onde y_{-1} seria o valor fictício à esquerda de x_0. Vou usar a condição de contorno sobre y'(x_0) para eliminar y_{-1} e obter uma equação só com os y_i físicos.
Como h=1{,}0 as fórmulas ficam numéricas mais simples ao substituir h^2=1 e 2h=2.
Passo 4
Uso a condição de derivada em x_0=-1{,}0 para eliminar o ghost point y_{-1}. A condição é
Agora monto a equação de diferenças finitas para o ponto x_0. A equação diferencial é \;y''(x_0)+5y(x_0)=0\;. Substituo a aproximação da segunda derivada com o ghost point: