Para a função f(x) dada, seja x0=0, x1=0,6 e x2=0,9. Construa polinômios interpoladores de grau 1 e grau 2 para aproximar f(0,45).
f(x)=ln (x+1)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente aproximar
f(0.45)
onde
f(x)=ln(x+1)
usando dois polinômios interpoladores: um de grau 1 (reta) nos pontos
x0=0,;x1=0.6
e outro de grau 2 (quadrático) nos pontos
x0=0,;x1=0.6,;x2=0.9
Isso cai na matéria de interpolação polinomial (vamos usar a forma de Lagrange). Pra resolver a gente precisa:
  1. calcular ,
  2. montar o polinômio de Lagrange de grau 1 e grau 2,
  3. avaliar em .

Passo 2

Interpolação de grau 1 (reta) – teoria rápida: dado dois pontos P1(x)=y0x-x1x0-x1;+;y1x-x0x1-x0 , y0=f(0)=ln(1)=0, y1=f(0.6)=ln(1.6)approx0.4700 , o polinômio de Lagrange é
P1(0.45) =0cdot0.45-0.60-0.6 +0.4700cdot0.45-00.6-0 =0.4700cdot0.450.6 =0.4700cdot0.75 approx0.3525
Aqui
Então

Passo 3

Interpolação de grau 2 – teoria: com três pontos P2(x)=sumi=0^2 yi,elli(x), usamos
elli(x)=prodjneq ix-xjxi-xj
onde cada base de Lagrange é
y2=f(0.9)=ln(1.9)approx0.6419
Calculemos os ell0(0.45) =(0.45-0.6)(0.45-0.9)(0-0.6)(0-0.9) =(-0.15)(-0.45)0.54 =0.06750.54 =0.125, :
ell1(0.45) =(0.45-0)(0.45-0.9)(0.6-0)(0.6-0.9) =0.45cdot(-0.45)-0.18 =-0.2025-0.18 =1.125,
Agora as bases em ell2(0.45) =(0.45-0)(0.45-0.6)(0.9-0)(0.9-0.6) =0.45cdot(-0.15)0.27 =-0.06750.27 =-0.25 :
P2(0.45) =0cdot0.125 +0.4700cdot1.125 +0.6419cdot(-0.25) =0.52875-0.16048 approx0.3683
Então

Resposta

Polinômio de grau 1:
P1(0.45)approx0.3525,
Polinômio de grau 2:
P2(0.45)approx0.3683

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