Utilize o polinômio interpolador de Lagrange de grau três para aproximar o valor de f(-13) nos seguintes pontos:
|l|l| hline$-0,75$ & $-0,07181250$ hline$-0,5$ & $-0,02475000$ hline$-0,25$ & 0,33493750 hline 0 & 1,10100000 hline Ln(x)=sumi=0^n yi prodsubstackj=0 j neq i^n x-xjxi-xj
0,33493750
0 1,10100000

Passo 1

Vamos resolver um exercício de interpolação usando o Polinômio de Lagrange de grau três. O objetivo é aproximar o valor de |c|c| hline x & f(x) hline -0,75 & -0,07181250 -0,5 & -0,02475000 -0,25 & 0,33493750 0 & 1,10100000 hline com base nos seguintes pontos:
Ln(x) = sumi=0^n yi prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj
Vamos precisar aplicar a fórmula do polinômio interpolador de Lagrange:

Passo 2

Primeiro, identificamos os quatro pontos dados: , , e com seus correspondentes . Como queremos um polinômio de grau três, usaremos todos esses pontos.

Passo 3

Vamos calcular cada termo do polinômio de Lagrange separadamente. Cada termo Li(x) = yi cdot prodsubstackj=0 j neq i^3 x - xjxi - xj é dado por:
Isso significa que para cada , multiplicamos pela fração de dividido por para todos os diferentes de .

Passo 4

Vamos calcular L0(-13) = -0,07181250 cdot -13 - (-0,5)-0,75 - (-0,5) cdot -13 - (-0,25)-0,75 - (-0,25) cdot -13 - 0-0,75 - 0 :
= -0,07181250 cdot 16-0,25 cdot -112-0,5 cdot -13-0,75
Calculando cada fração:
= -0,07181250 cdot (-16) cdot 112 cdot 13
= 0,07181250 cdot 1216
= 0,000332

Passo 5

Agora, calculamos L1(-13) = -0,02475000 cdot -13 - (-0,75)-0,5 - (-0,75) cdot -13 - (-0,25)-0,5 - (-0,25) cdot -13 - 0-0,5 - 0 :
= -0,02475000 cdot 5120,25 cdot -112-0,25 cdot -13-0,5
Calculando cada fração:
= -0,02475000 cdot 53 cdot 112 cdot 23
= -0,02475000 cdot 10108
= -0,00229167

Passo 6

Vamos calcular L2(-13) = 0,33493750 cdot -13 - (-0,75)-0,25 - (-0,75) cdot -13 - (-0,5)-0,25 - (-0,5) cdot -13 - 0-0,25 - 0 :
= 0,33493750 cdot 512 cdot 16 cdot -13-0,25
Calculando cada fração:
= 0,33493750 cdot 512 cdot 16 cdot 43
= 0,33493750 cdot 20216
= 0,03095927

Passo 7

Por fim, calculamos L3(-13) = 1,10100000 cdot -13 - (-0,75)0 - (-0,75) cdot -13 - (-0,5)0 - (-0,5) cdot -13 - (-0,25)0 - (-0,25) :
= 1,10100000 cdot 512 cdot 16 cdot -112
Calculando cada fração:
= 1,10100000 cdot 512 cdot 16 cdot -112
= 1,10100000 cdot -5864
= -0,006375

Resposta

Somando todos os termos calculados:
L(-13) = 0,000332 - 0,00229167 + 0,03095927 - 0,006375 approx 0,0226
Portanto, a aproximação de usando o polinômio de Lagrange é aproximadamente 0,0226.

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