Para a função f(x) dada, seja x0=0, x1=0,6 e x2=0,9. Construa polinómios interpoladores de grau 1 e grau 2 para aproximar f(0,45).
f(x)=cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \cos(x) $ e três pontos: $ x_0 = 0 $, $ x_1 = 0,6 $ e $ x_2 = 0,9 $. Nosso objetivo é construir dois polinômios interpoladores: um de grau 1 (uma reta) e outro de grau 2 (uma parábola) para aproximar o valor de $ f(0,45) $. Para isso, vamos precisar entender o que são polinômios interpoladores e como construí-los usando os pontos fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre polinômios interpoladores. Esses polinômios são funções que passam exatamente pelos pontos dados. Ou seja, se a gente tem $ n+1 $ pontos, o polinômio interpolador de grau $ n $ vai passar por todos esses pontos.
No nosso caso, para o polinômio de grau 1, vamos usar dois pontos (já que $ n = 1 $), e para o de grau 2, vamos usar três pontos.

Passo 3

Vamos começar com o polinômio interpolador de grau 1. Esse polinômio é uma reta que passa por dois pontos. Vamos escolher os pontos mais próximos de $ x = 0,45 $, que são $ x_0 = 0 $ e $ x_1 = 0,6 $.
A fórmula geral de uma reta é:
x = 0,45
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes $ a $ e $ b $ de forma que a reta passe pelos pontos x0 = 0 e x1 = 0,6 .

Passo 4

Vamos calcular os valores de $ f(x) $ nesses pontos:
f(x)
f(0) = cos(0) = 1
Agora temos os pontos: f(0,6) = cos(0,6) approx 0,8253356149 e (0, 1).

Passo 5

Usando esses pontos, podemos montar um sistema de equações para encontrar $ a $ e $ b $:
a
b
Resolvendo a segunda equação para $ a $:
1 = a cdot 0 + b implies b = 1
Então, o polinômio interpolador de grau 1 é:
0,8253356149 = a cdot 0,6 + 1

Passo 6

Agora, vamos ao polinômio interpolador de grau 2. Esse polinômio é uma parábola que passa pelos três pontos dados: (0, 1), (0,6, 0,8253356149) e (0,9, f(0,9)).
Primeiro, calculamos $ f(0,9) $:
f(0,9)
Agora temos os pontos: f(0,9) = cos(0,9) approx 0,6216099683 , (0, 1) e (0,6, 0,8253356149).

Passo 7

A forma geral de um polinômio de grau 2 é:
P2(x) = a x^2 + b x + c
Queremos encontrar os coeficientes $ a $, $ b $ e $ c $ de modo que:
a
b
c
Vamos montar o sistema de equações:
P2(0) = 1
P2(0,6) = 0,8253356149
P2(0,9) = 0,6216099683

Passo 8

Simplificando as equações restantes:
0,8253356149 = 0,36, a + 0,6, b + 1 implies 0,36, a + 0,6, b = -0,1746643851 (1)
0,6216099683 = 0,81, a + 0,9, b + 1 implies 0,81, a + 0,9, b = -0,3783900317 (2)
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Passo 9

Vamos resolver o sistema. Primeiro, multiplicamos a equação (1) por 1,5 para facilitar a eliminação:
1,5 times (0,36, a + 0,6, b) = 1,5 times (-0,1746643851)
0,54, a + 0,9, b = -0,2619965777 (3)
Agora, subtraímos a equação (3) da equação (2):
(0,81, a + 0,9, b) - (0,54, a + 0,9, b) = -0,3783900317 - (-0,2619965777)
0,27, a = -0,116393454
a approx -0,430716

Passo 10

Agora que temos $ a $, substituímos na equação (1) para encontrar $ b $:
a
b
0,36, (-0,430716) + 0,6, b = -0,1746643851
-0,155457 , + 0,6, b = -0,1746643851
Então, o polinômio interpolador de grau 2 é:
0,6, b = -0,1746643851 + 0,155457

Resposta

Para aproximar $ f(0,45) $, utilizamos os polinômios interpoladores:
f(0,45)
P1(0,45) = -0,2911 times 0,45 + 1 approx 0,8689
Portanto, as aproximações são:
P2(0,45) = -0,4307 times (0,45)^2 -0,0320 times 0,45 + 1 approx 0,8622

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