Para a função
dada, seja
e
. Construa polinómios interpoladores de grau 1 e grau 2 para aproximar
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \cos(x) $ e três pontos: $ x_0 = 0 $, $ x_1 = 0,6 $ e $ x_2 = 0,9 $. Nosso objetivo é construir dois polinômios interpoladores: um de grau 1 (uma reta) e outro de grau 2 (uma parábola) para aproximar o valor de $ f(0,45) $. Para isso, vamos precisar entender o que são polinômios interpoladores e como construí-los usando os pontos fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre polinômios interpoladores. Esses polinômios são funções que passam exatamente pelos pontos dados. Ou seja, se a gente tem $ n+1 $ pontos, o polinômio interpolador de grau $ n $ vai passar por todos esses pontos.
No nosso caso, para o polinômio de grau 1, vamos usar dois pontos (já que $ n = 1 $), e para o de grau 2, vamos usar três pontos.
Passo 3
Vamos começar com o polinômio interpolador de grau 1. Esse polinômio é uma reta que passa por dois pontos. Vamos escolher os pontos mais próximos de $ x = 0,45 $, que são $ x_0 = 0 $ e $ x_1 = 0,6 $.
A fórmula geral de uma reta é:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes $ a $ e $ b $ de forma que a reta passe pelos pontos
e
.
Passo 4
Vamos calcular os valores de $ f(x) $ nesses pontos:
Agora temos os pontos:
e
.
Passo 5
Usando esses pontos, podemos montar um sistema de equações para encontrar $ a $ e $ b $:
Resolvendo a segunda equação para $ a $:
Então, o polinômio interpolador de grau 1 é:
Passo 6
Agora, vamos ao polinômio interpolador de grau 2. Esse polinômio é uma parábola que passa pelos três pontos dados:
,
e
.
Primeiro, calculamos $ f(0,9) $:
Agora temos os pontos:
,
e
.
Passo 7
A forma geral de um polinômio de grau 2 é:
Queremos encontrar os coeficientes $ a $, $ b $ e $ c $ de modo que:
Vamos montar o sistema de equações:
Passo 8
Simplificando as equações restantes:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.
Passo 9
Vamos resolver o sistema. Primeiro, multiplicamos a equação (1) por 1,5 para facilitar a eliminação:
Agora, subtraímos a equação (3) da equação (2):
Passo 10
Agora que temos $ a $, substituímos na equação (1) para encontrar $ b $:
Então, o polinômio interpolador de grau 2 é:
Resposta
Para aproximar $ f(0,45) $, utilizamos os polinômios interpoladores:
Portanto, as aproximações são: