Encontre o menor inteiro a>2 tal que
2|a, 3| a+1, 4|a+2, 5| a+3, 6 mid a+4

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer encontrar o menor inteiro 2mid a, 3mid(a+1), 4mid(a+2), 5mid(a+3), 6mid(a+4) que satisfaça simultaneamente
Conteúdo da matéria: estamos lidando com sistemas de congruências (aritmética modular), usamos conceitos de resto, máximo divisor comum (MDC), mínimo múltiplo comum (MMC) e o Teorema Chinês dos Resíduos (CRT).
O que vamos precisar:
  • Reescrever cada condição na forma .
  • Simplificar congruências redundantes usando MDC e MMC.
  • Aplicar o CRT para juntar tudo num só módulo.

Passo 2

Transformando cada condição em congruência:
  1. aequiv 0pmod 2 vira aequiv -1equiv2pmod3
  2. a+2equiv0pmod4 Longrightarrow aequiv -2equiv2pmod4 significa aequiv -3equiv2pmod5 , ou seja aequiv -4equiv2pmod6
  3. aequiv 0pmod2, aequiv 2pmod3, aequiv 2pmod4, aequiv 2pmod5, aequiv 2pmod6
Então o sistema é

Passo 3

Notando redundâncias:
  • Se aequiv2pmod4, aequiv2pmod5, aequiv2pmod6 , então é par (cumpre já ) e . Logo podemos descartar as congruências módulo 2 e módulo 3.
  • Ficamos com

Passo 4

Agora unimos as congruências em pares:
  1. Juntando aequiv2pmod12 e aequiv2pmod60 :
    • , e as duas dizem “ ” que é compatível porque .
    • Qual é o módulo combinado? .
    • Concluímos que
    (Na prática: escreva e imponha , daí , logo , .)
  2. Agora juntamos essa com :
    • , então é direto usar CRT.
    • .
    • Fica

Passo 5

As soluções gerais são . Queremos o menor .
  • Para , mas precisa ser maior que 2.
  • Para , que é o primeiro maior que 2.

Resposta

.

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