Resolva a congruência linear 17 x equiv 3(bmod 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7) resolvento o sistema:
& 17 x equiv 3(bmod 2) & 17 x equiv 3(bmod 3) & 17 x equiv 3(bmod 5) & 17 x equiv 3(bmod 7)

Passo 1

Beleza, olha só o que temos: a questão pede pra resolver a congruência
17x equiv 3 pmod2cdot3cdot5cdot7
dividindo isso no sistema
17x equiv 3 pmod2, 17x equiv 3 pmod3, 17x equiv 3 pmod5, 17x equiv 3 pmod7
Isso faz parte de teoria dos números, mais especificamente de congruências lineares e do Teorema Chinês dos Resíduos (CRT). Para resolver, a gente vai:
1. Verificar que em cada módulo , então existe inverso de .
2. Achar esse inverso em cada módulo, multiplicar para isolar .
3. Usar CRT pra juntar as soluções parciais num único módulo .

Passo 2

Primeiro, note que em cada caso 17xequiv3pmodni Longrightarrow xequiv 17^-1cdot3pmodni ( ), então podemos multiplicar pela inversa de em cada módulo e achar

Passo 3

Vamos achar a inversa de em cada módulo. Como é maior que os módulos, reduzimos antes:
  • Módulo 2: . Inverso de 1 é 1.
  • Módulo 3: . Inverso de 2 em é 2, pois .
  • Módulo 5: . Inverso de 2 em é 3, pois .
  • Módulo 7: . Inverso de 3 em é 5, pois .

Passo 4

Agora multiplica cada congruência pelo inverso que achamos:
  • Em mod 2: xequiv1pmod2, xequiv0pmod3, xequiv4pmod5, xequiv1pmod7 .
  • Em mod 3: .
  • Em mod 5: .
  • Em mod 7: .
Resumindo o sistema equivalente para :

Passo 5

Vamos usar o Teorema Chinês dos Resíduos de forma prática, juntando duas congruências de cada vez:
  1. Pegamos 3kequiv4pmod5 ;Longrightarrow; 3kequiv4pmod5 e kequiv2cdot4=8equiv3pmod5 ;Longrightarrow; k=5m+3 ;Longrightarrow; x=3k=3(5m+3)=15m+9 . Escreve 15m+9equiv1pmod7 . Aí m=7n+6 ;Longrightarrow; x=15(7n+6)+9=105n+90+9=105n+99 Como 105n+99equiv1pmod2 , multiplicamos: x=105,(2t)+99=210t+99
  2. Agora essa deve atender : Como , isso vira , logo . Então
  3. Por fim, impomos a : Como e , isso dá , ou . Logo e

Resposta

A solução geral é
boxedxequiv 99 pmod210

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