A função f(x)=\frac{(4 x-7)}{(x-2)} se anula em x=\frac{7}{4}. Calule as iterações do método de Newton partindo das aproximações iniciais:
c) x_{0}=1.5

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método de Newton em
f(x) = \frac{4x - 7}{x - 2}
com aproximação inicial x_{0}=1{,}5, sabendo que a raiz exata é x=\tfrac{7}{4}. Vamos usar a fórmula
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Passo 2

Calcular a derivada f'(x). Usando a regra do quociente,
f'(x) = \frac{(4)(x-2) - (4x-7)\cdot1}{(x-2)^{2}} = \frac{4x - 8 - 4x + 7}{(x-2)^{2}} = -\frac{1}{(x-2)^{2}}.

Passo 3

Montar a iteração de Newton:
x_{n+1} = x_n - \frac{\displaystyle\frac{4x_n-7}{x_n-2}}{\displaystyle -\frac{1}{(x_n-2)^{2}}} = x_n + (4x_n - 7)(x_n - 2).
Expandindo,
x_{n+1} = x_n + 4x_n^2 - 15x_n + 14 = 4x_n^2 -14x_n +14.

Passo 4

Calcular x_{1} a partir de x_{0}=1{,}5:
x_{1} = 4\,(1{,}5)^{2} -14\,(1{,}5) +14 = 4\cdot2{,}25 -21 +14 =9 -21 +14 =2.

Passo 5

Em x_{1}=2 a função f e sua derivada são indefinidas (denominador nulo). Logo, o método de Newton “cai” numa singularidade e não gera x_{2}.

Resposta

x_{1}=2, e o método não prossegue porque f e f' não existem em x=2.

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