A função f(x)=\frac{(4 x-7)}{(x-2)} se anula em x=\frac{7}{4}. Calule as iterações do método de Newton partindo das aproximações iniciais:
d) x_{0}=1.95

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{4x-7}{x-2}
que se anula em x=\tfrac74. Pede-se aplicar o método de Newton a partir de x_0=1,95 para obter as iterações x_1,x_2,\dots.

Passo 2

Precisamos da derivada de f. Usando a regra do quociente,
f'(x) =\frac{4\,(x-2)-(4x-7)\,1}{(x-2)^2} =\frac{4x-8-4x+7}{(x-2)^2} =\frac{-1}{(x-2)^2}.

Passo 3

A fórmula de Newton é
x_{n+1} =x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} =x_n-\frac{\displaystyle\frac{4x_n-7}{x_n-2}}{\displaystyle-\frac1{(x_n-2)^2}} =x_n+(4x_n-7)(x_n-2).
Podemos simplificar:
x_{n+1} =4x_n^2-14x_n+14.

Passo 4

Agora calculamos as primeiras quatro iterações:
Para n=0:
x_1 =4(1,95)^2-14(1,95)+14 \approx1,91.
Para n=1:
x_2 =4(1,91)^2-14(1,91)+14 \approx1,8524.
Para n=2:
x_3 =4(1,8524)^2-14(1,8524)+14 \approx1,79194.
Para n=3:
x_4 =4(1,79194)^2-14(1,79194)+14 \approx1,75705.

Resposta

x_1\approx1,91,\;x_2\approx1,8524,\;x_3\approx1,79194,\;x_4\approx1,75705.

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