A função f(x)=\frac{(4 x-7)}{(x-2)} se anula em x=\frac{7}{4}. Calule as iterações do método de Newton partindo das aproximações iniciais:
b) x_{0}=1.875

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{4x-7}{x-2}
cuja raiz exata é x=\tfrac{7}{4}=1{,}75, e pede para aplicar o método de Newton partindo de x_{0}=1{,}875. Vamos usar a fórmula
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}
para gerar as iterações.

Passo 2

Primeiro, derivamos f(x). Usando a regra do quociente,
f'(x) =\frac{4\,(x-2)-(4x-7)\cdot1}{(x-2)^{2}} =\frac{-1}{(x-2)^{2}}.

Passo 3

Substituindo na fórmula de Newton e simplificando, obtemos
x_{n+1} =x_{n}-\frac{\displaystyle\frac{4x_{n}-7}{x_{n}-2}}{\displaystyle -\frac{1}{(x_{n}-2)^{2}}} =x_{n}+(4x_{n}-7)(x_{n}-2) =4x_{n}^{2}-14x_{n}+14.

Passo 4

Agora calculamos x_{1} e x_{2}:
x_{1} =4\,(1{,}875)^{2}-14\,(1{,}875)+14 =1{,}8125,
x_{2} =4\,(1{,}8125)^{2}-14\,(1{,}8125)+14 =1{,}765625.

Passo 5

Para ver a convergência quadrática, calculamos também x_{3}:
x_{3} =4\,(1{,}765625)^{2}-14\,(1{,}765625)+14 \approx1{,}7509765625.
Note que já estamos muito próximos de 1{,}75.

Resposta

x_{1}=1{,}8125,\quad x_{2}=1{,}765625,\quad x_{3}\approx1{,}7509765625,\;\dots

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