A função f(x)=\frac{(4 x-7)}{(x-2)} se anula em x=\frac{7}{4}. Calule as iterações do método de Newton partindo das aproximações iniciais:
e) x_{0}=3

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{4x-7}{x-2}
cuja raiz exata é x=\frac{7}{4}, e pede para aplicarmos o método de Newton a partir de x_{0}=3. Vamos usar derivadas e a fórmula iterativa
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f(x)=(4x-7)/(x-2),
f'(x) =\frac{4\,(x-2)-(4x-7)\,\cdot1}{(x-2)^{2}} =\frac{4x-8-4x+7}{(x-2)^{2}} =\frac{-1}{(x-2)^{2}}.

Passo 3

Substituindo em
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}
temos
\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} =\frac{\displaystyle\frac{4x_{n}-7}{\,x_{n}-2\,}}{\displaystyle-\frac{1}{(x_{n}-2)^{2}}} =-(4x_{n}-7)\,(x_{n}-2),
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x_{n+1} =x_{n}+ (4x_{n}-7)\,(x_{n}-2).

Passo 4

Agora aplicamos a partir de x_{0}=3:
Para n=0:
x_{1} =3+(4\cdot3-7)(3-2) =3+(12-7)\cdot1 =3+5 =8.
Para n=1:
x_{2} =8+(4\cdot8-7)(8-2) =8+(32-7)\cdot6 =8+25\cdot6 =8+150 =158.

Passo 5

Para ver o comportamento, calculamos também x_{3}:
x_{3} =158+(4\cdot158-7)(158-2) =158+(632-7)\cdot156 =158+625\cdot156 =158+97\,500 =97\,658.
As iterações crescem rapidamente, mostrando que o método diverge a partir de x_{0}=3.

Resposta

x_{1}=8,\quad x_{2}=158,\quad x_{3}=97\,658 (o método diverge).

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