A função f(x)=\frac{(4 x-7)}{(x-2)} se anula em x=\frac{7}{4}. Calule as iterações do método de Newton partindo das aproximações iniciais:
f) x_{0}=7

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método de Newton à função
f(x) = \frac{4x - 7}{x - 2}
que tem raiz em x=\tfrac{7}{4}. Vamos derivar f, obter a fórmula de iteração de Newton
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},
e então calcular as primeiras iterações partindo de x_0 = 7.

Passo 2

Usando a regra do quociente, a derivada de f é
f'(x) = \frac{4\,(x-2) - (4x-7)\cdot1}{(x-2)^2} = \frac{4x - 8 - 4x + 7}{(x-2)^2} = -\frac{1}{(x-2)^2}.

Passo 3

Substituindo em Newton,
x_{n+1} = x_n - \frac{\frac{4x_n-7}{x_n-2}}{-\frac{1}{(x_n-2)^2}} = x_n + (4x_n - 7)\,(x_n - 2).
Desenvolvendo,
x_{n+1} = 4x_n^2 - 14x_n + 14.

Passo 4

Para x_0=7,
x_1 = 4\cdot7^2 - 14\cdot7 + 14 = 196 - 98 + 14 = 112.

Passo 5

Em seguida,
x_2 = 4\cdot112^2 - 14\cdot112 + 14 = 4\cdot12544 - 1568 + 14 = 50176 - 1568 + 14 = 48622.

Passo 6

Calculemos x_3:
x_3 = 4\cdot48622^2 - 14\cdot48622 + 14 = 9\,456\,395\,536 - 680\,708 + 14 = 9\,455\,714\,842.
Vê-se que as iterações crescem sem limite, ou seja, o método diverge para este x_0.

Resposta

x_1 = 112 x_2 = 48622 x_3 = 9455714842 (iterações divergem)

Exercícios relacionados