A função
possui múltiplas raízes. Use Newton iniciando em:
(a)
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para aplicar o método de Newton (iterações de Newton) começando em
.
Informações relevantes que temos: o ponto inicial é e devemos construir a sequência
Informações relevantes que temos: o ponto inicial é
até ver para qual raiz a sequência converge (ou até obter aproximação suficiente). Não começamos a resolver aqui; só listei o que o exercício pede e os dados fornecidos.
Passo 2
O que é o método de Newton (explicação didática, passo a passo)?
- A ideia: a cada iteração aproximamos a função por sua reta tangente no ponto
e usamos a interseção dessa reta com o eixo como próxima aproximação. - A fórmula (derivada do geometricamente): se temos
diferenciável e , então
- Aqui,
é a aproximação atual da raiz, é o valor da função nesse ponto, é a derivada (a inclinação da tangente) nesse ponto, e é a nova aproximação. - Antes de calcular, precisamos da derivada de
. Calculemos:
Agora estamos prontos para aplicar a fórmula de Newton com
. Vou explicar e mostrar cada conta, sem pular passos, como se estivéssemos escrevendo na prova.
Passo 3
Primeira iteração (de
para
):
- Avaliamos
e em :
- Aplicando Newton:
Portanto
. Já temos a primeira aproximação; ótimo.
Passo 4
Segunda iteração (de
para
):
- Avaliamos
e em :
- Aplicando Newton:
Assim
.
Passo 5
Terceira iteração (de
para
):
- Avaliamos em
:
- Aplicando Newton:
Logo
.
Passo 6
Quarta iteração (de
para
):
- Avaliamos em
:
- Aplicando Newton:
Fazendo a soma das frações obtemos
Passo 7
Quinta iteração (de
para
), agora com aproximações decimais (continua sendo preciso):
- Usando
,
- Aplicando Newton numericamente:
Já estamos muito próximos de zero (ordem
).
Passo 8
Sexta iteração (de
para
), para finalizar a convergência:
- Com
,
- Aplicando Newton:
A sequência praticamente chegou a zero (dentro de erro numérico de máquina).
Passo 9
Interpretação final e uma dica didática (por que deu zero e não a outra raiz?):
- A função pode ser fatorada (isso é útil para entender o cenário):
Logo as raízes são
(simples) e
(de multiplicidade
).
- Newton tende a convergir para a raiz cujo “bacia de atração” contém o ponto inicial. Começando em
a sequência foi atraída para a raiz . - Observação importante sobre raízes múltiplas: se a raiz tem multiplicidade
(aqui para ), Newton perde a convergência quadrática e passa a convergir linearmente com fator assintótico . No caso , isso dá fator , ou seja, a convergência perto de seria mais lenta do que para uma raiz simples como . Por isso, começando longe (como em ) e seguindo as iterações o método preferiu a raiz simples , que é rapidamente atingida.