1. Use Newton para aproximar \sqrt{7} \mathrm{com} a fórmula
x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{7}{x_{n}}\right)
Calcule as primeiras 5 iterações a partir de x_{0}=1.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
  • Pede para usar a iteração de Newton
x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{7}{x_{n}}\right)
para aproximar \sqrt{7}.\n
  • Queremos calcular as primeiras 5 iterações a partir de \,x_{0}=1, ou seja: \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}.\n
  • Informação inicial importante: \,x_{0}=1.

Passo 2

Breve explicação do método de Newton (didática, sem pular etapas):\n
  • A ideia do método de Newton é aproximar uma raiz da equação f(x)=0 por iterações. Se x_n é uma aproximação, a próxima é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Aqui queremos \sqrt{7}, que é raiz da função
f(x)=x^{2}-7,
pois f(\sqrt{7})=(\sqrt{7})^{2}-7=0.\n
  • A derivada é
f'(x)=2x.
  • Substituindo na fórmula de Newton:
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^{2}-7}{2x_n}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{7}{x_n}\right),
que é exatamente a iteração dada. Explicando as variáveis: \,x_n é a aproximação atual e \,x_{n+1} é a próxima aproximação.

Passo 3

Cálculo de \,x_{1} a partir de \,x_{0}=1:\n
Substituindo na fórmula,
x_{1}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{7}{1}\right)=\frac{1}{2}\cdot 8=4.

Passo 4

Cálculo de \,x_{2} a partir de \,x_{1}=4:\n
x_{2}=\frac{1}{2}\left(4+\frac{7}{4}\right)=\frac{1}{2}\left(4+\frac{7}{4}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{16}{4}+\frac{7}{4}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{23}{4}=\frac{23}{8}.
Como decimal,
x_{2}=\frac{23}{8}=2,875.

Passo 5

Cálculo de \,x_{3} a partir de \,x_{2}=\frac{23}{8}:\n
Primeiro calcule \displaystyle \frac{7}{x_{2}}=\frac{7}{23/8}=7\cdot\frac{8}{23}=\frac{56}{23}.\n
Agora somamos e fazemos a média:
x_{3}=\frac{1}{2}\left(\frac{23}{8}+\frac{56}{23}\right).
Para somar, coloque no mesmo denominador 8\cdot 23=184:
\frac{23}{8}=\frac{23\cdot 23}{184}=\frac{529}{184},\qquad \frac{56}{23}=\frac{56\cdot 8}{184}=\frac{448}{184}.
Soma:
\frac{529}{184}+\frac{448}{184}=\frac{977}{184},
então
x_{3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{977}{184}=\frac{977}{368}.
Como decimal aproximado,
x_{3}=\frac{977}{368}\approx 2,65597826087.

Passo 6

Cálculo de \,x_{4} a partir de \,x_{3}=\frac{977}{368}:\n
Calcule \displaystyle \frac{7}{x_{3}}=\frac{7}{977/368}=7\cdot\frac{368}{977}=\frac{2576}{977}.\n
Somando:
x_{4}=\frac{1}{2}\left(\frac{977}{368}+\frac{2576}{977}\right).
Colocando no mesmo denominador 368\cdot 977=359536:
\frac{977}{368}=\frac{977\cdot 977}{359536}=\frac{954529}{359536},
\frac{2576}{977}=\frac{2576\cdot 368}{359536}=\frac{947968}{359536}.
Soma:
\frac{954529}{359536}+\frac{947968}{359536}=\frac{1902497}{359536}.
Agora multiplicamos por \tfrac{1}{2}:
x_{4}=\frac{1902497}{2\cdot 359536}=\frac{1902497}{719072}.
Como decimal aproximado,
x_{4}=\frac{1902497}{719072}\approx 2,64575131052.
Observação didática: já estamos muito próximos de \sqrt{7}, que vale \sqrt{7}\approx 2,64575131106. Newton converge rápido.

Passo 7

Cálculo de \,x_{5} a partir de \,x_{4} (usando a aproximação decimal de \,x_{4}):\n
Usando x_{4}\approx 2,64575131052, calcule
\frac{7}{x_{4}}\approx\frac{7}{2,64575131052}\approx 2,64575131107.
Agora a média:
x_{5}\approx\frac{1}{2}\left(2,64575131052+2,64575131107\right)\approx 2,64575131079.
Comentário final e encorajamento: a diferença entre x_{4} e x_{5} já é muito pequena (surgem casas decimais corretas rapidamente). Isso mostra por que o método de Newton é ótimo para obter \sqrt{7} com poucas iterações.

Resposta

\,x_{1}=4\n
\,x_{2}=\frac{23}{8}=2,875\n
\,x_{3}=\frac{977}{368}\approx 2,65597826087\n
\,x_{4}=\frac{1902497}{719072}\approx 2,64575131052\n
\,x_{5}\approx 2,64575131079

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