- Use Newton para aproximar
a fórmula
Calcule as primeiras 5 iterações a partir de
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
- Pede para usar a iteração de Newton
para aproximar
.\n
- Queremos calcular as primeiras 5 iterações a partir de
, ou seja: .\n - Informação inicial importante:
.
Passo 2
Breve explicação do método de Newton (didática, sem pular etapas):\n
- A ideia do método de Newton é aproximar uma raiz da equação
por iterações. Se é uma aproximação, a próxima é
- Aqui queremos
, que é raiz da função
pois
.\n
- A derivada é
- Substituindo na fórmula de Newton:
que é exatamente a iteração dada. Explicando as variáveis:
é a aproximação atual e
é a próxima aproximação.
Passo 3
Cálculo de
a partir de
:\n
Substituindo na fórmula,
Substituindo na fórmula,
Passo 4
Cálculo de
a partir de
:\n
Como decimal,
Passo 5
Cálculo de
a partir de
:\n
Primeiro calcule \n
Agora somamos e fazemos a média:
Primeiro calcule
Agora somamos e fazemos a média:
Para somar, coloque no mesmo denominador
:
Soma:
então
Como decimal aproximado,
Passo 6
Cálculo de
a partir de
:\n
Calcule \n
Somando:
Calcule
Somando:
Colocando no mesmo denominador
:
Soma:
Agora multiplicamos por
:
Como decimal aproximado,
Observação didática: já estamos muito próximos de
, que vale
. Newton converge rápido.
Passo 7
Cálculo de
a partir de
(usando a aproximação decimal de
):\n
Usando , calcule
Usando
Agora a média:
Comentário final e encorajamento: a diferença entre
e
já é muito pequena (surgem casas decimais corretas rapidamente). Isso mostra por que o método de Newton é ótimo para obter
com poucas iterações.