A função
possui múltiplas raízes. Use Newton iniciando em:
(b)
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e diz que ela possui múltiplas raízes. Pede-se aplicar o método de Newton partindo de
.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - O ponto inicial para Newton é
. - A tarefa é iterar Newton e verificar para que raiz a sequência converge (se convergir).
Passo 2
Apresento o método de Newton (aula rápida e prática): dado
diferenciável, a iteração de Newton é
Explicando: em cada passo aproximamos
por sua reta tangente em
e escolhemos a interseção dessa reta com o eixo
como próxima aproximação
. Aqui
é a derivada de
. Para aplicar, precisamos calcular
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
. Uso a forma fatorada para facilitar a interpretação: note que
Derivando com a regra do produto:
Expandindo para conferir:
Comentário didático: conhecer a forma fatorada ajuda a ver raízes e multiplicidades (aqui
é raiz simples e
é raiz dupla).
Passo 4
Agora aplicamos Newton a partir de
. Vou calcular iterativamente
mostrando
e
em cada passo e fazendo as contas com cuidado (usar vírgula para decimais).
Passo inicial:
Calcule
e
:
Aplicando a fórmula de Newton:
Passo 5
Segunda iteração (
):
Calcule e
:
Calcule
Aplicando Newton:
Comentário: observe que a fração deu exatamente
porque
.
Passo 6
Terceira iteração (
):
Calcule e
:
Calcule
Aplicando Newton:
Explicação: dividi
por
para obter aproximadamente
.
Passo 7
Quarta iteração (
):
Calcule e
aproximadamente:
Calcule
Aplicando Newton:
Passo 8
Quinta iteração (
):
Aqui os termos quadráticos e cúbicos são minúsculos, então e
. Assim a correção será praticamente
e teremos
Aqui os termos quadráticos e cúbicos são minúsculos, então
ou seja, já praticamente zero dentro de qualquer tolerância prática.
Interpretação e observação importante (didática): a sequência converge para a raiz
. Isso era de se esperar porque começamos mais perto de
do que de
. Além disso, como
é raiz simples, Newton converge quadraticamente perto dela (rápido). Se tivéssemos começado muito perto de
, como
é raiz dupla, Newton teria convergência mais lenta (linear) nessa raiz dupla — por isso raízes múltiplas exigem cuidado e às vezes um método modificado.
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