A função
f(x)=x^{3}-2 x^{2}+xpossui múltiplas raízes. Use Newton iniciando em:
(b) x_{0}=0.2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-2x^{2}+x
e diz que ela possui múltiplas raízes. Pede-se aplicar o método de Newton partindo de x_{0}=0{,}2.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é f(x)=x^{3}-2x^{2}+x.
  • O ponto inicial para Newton é x_{0}=0{,}2.
  • A tarefa é iterar Newton e verificar para que raiz a sequência converge (se convergir).

Passo 2

Apresento o método de Newton (aula rápida e prática): dado f diferenciável, a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Explicando: em cada passo aproximamos f por sua reta tangente em x_{n} e escolhemos a interseção dessa reta com o eixo x como próxima aproximação x_{n+1}. Aqui f'(x) é a derivada de f. Para aplicar, precisamos calcular f'(x).

Passo 3

Calculamos a derivada de f. Uso a forma fatorada para facilitar a interpretação: note que
f(x)=x(x-1)^{2}.
Derivando com a regra do produto:
f'(x)=1\cdot (x-1)^{2} + x\cdot 2(x-1)=(x-1)\big[(x-1)+2x\big]=(x-1)(3x-1).
Expandindo para conferir:
f'(x)=3x^{2}-4x+1.
Comentário didático: conhecer a forma fatorada ajuda a ver raízes e multiplicidades (aqui x=0 é raiz simples e x=1 é raiz dupla).

Passo 4

Agora aplicamos Newton a partir de x_{0}=0{,}2. Vou calcular iterativamente x_{1},x_{2},\dots mostrando f(x_{n}) e f'(x_{n}) em cada passo e fazendo as contas com cuidado (usar vírgula para decimais).
Passo inicial:
x_{0}=0{,}2.
Calcule f(x_{0}) e f'(x_{0}):
f(0{,}2)= (0{,}2)^{3}-2(0{,}2)^{2}+0{,}2 = 0{,}008 - 0{,}08 + 0{,}2 = 0{,}128,
f'(0{,}2)=3(0{,}2)^{2}-4(0{,}2)+1 = 3(0{,}04)-0{,}8+1 = 0{,}12 -0{,}8 +1 = 0{,}32.
Aplicando a fórmula de Newton:
x_{1}=0{,}2 - \frac{0{,}128}{0{,}32} = 0{,}2 - 0{,}4 = -0{,}2.

Passo 5

Segunda iteração ( x_{1}=-0{,}2):
Calcule f(x_{1}) e f'(x_{1}):
f(-0{,}2)=(-0{,}2)^{3}-2(-0{,}2)^{2}+(-0{,}2) = -0{,}008 - 0{,}08 - 0{,}2 = -0{,}288,
f'(-0{,}2)=3(0{,}04)-4(-0{,}2)+1 = 0{,}12 +0{,}8 +1 = 1{,}92.
Aplicando Newton:
x_{2}=-0{,}2 - \frac{-0{,}288}{1{,}92} = -0{,}2 + 0{,}15 = -0{,}05.
Comentário: observe que a fração deu exatamente 0{,}15 porque 0{,}288/1{,}92=0{,}15.

Passo 6

Terceira iteração ( x_{2}=-0{,}05):
Calcule f(x_{2}) e f'(x_{2}):
f(-0{,}05)=(-0{,}05)^{3}-2(-0{,}05)^{2}+(-0{,}05) = -0{,}000125 - 0{,}005 - 0{,}05 = -0{,}055125,
f'(-0{,}05)=3(0{,}0025)-4(-0{,}05)+1 = 0{,}0075 + 0{,}2 + 1 = 1{,}2075.
Aplicando Newton:
x_{3}=-0{,}05 - \frac{-0{,}055125}{1{,}2075} = -0{,}05 + \frac{0{,}055125}{1{,}2075} \approx -0{,}05 + 0{,}04565 \approx -0{,}00435.
Explicação: dividi 0{,}055125 por 1{,}2075 para obter aproximadamente 0{,}04565.

Passo 7

Quarta iteração ( x_{3}\approx -0{,}00435):
Calcule f(x_{3}) e f'(x_{3}) aproximadamente:
f(-0{,}00435)\approx (-0{,}00435)^{3}-2(-0{,}00435)^{2}+(-0{,}00435)\approx -0{,}000000082 - 0{,}000037845 - 0{,}00435 \approx -0{,}00438793,
f'(-0{,}00435)\approx 3(0{,}0000189225)-4(-0{,}00435)+1 \approx 0{,}00005677 + 0{,}0174 + 1 \approx 1{,}01745677.
Aplicando Newton:
x_{4}\approx -0{,}00435 - \frac{-0{,}00438793}{1{,}01745677} \approx -0{,}00435 + 0{,}0043109 \approx -0{,}0000391.

Passo 8

Quinta iteração ( x_{4}\approx -0{,}0000391):
Aqui os termos quadráticos e cúbicos são minúsculos, então f(x_{4})\approx x_{4} e f'(x_{4})\approx 1. Assim a correção será praticamente x_{4} e teremos
x_{5}\approx x_{4} - \frac{f(x_{4})}{f'(x_{4})} \approx -0{,}0000391 - \frac{-0{,}0000391}{1{,}0001564} \approx \text{algo da ordem }-10^{-8},
ou seja, já praticamente zero dentro de qualquer tolerância prática.
Interpretação e observação importante (didática): a sequência converge para a raiz x=0. Isso era de se esperar porque começamos mais perto de 0 do que de 1. Além disso, como x=0 é raiz simples, Newton converge quadraticamente perto dela (rápido). Se tivéssemos começado muito perto de x=1, como x=1 é raiz dupla, Newton teria convergência mais lenta (linear) nessa raiz dupla — por isso raízes múltiplas exigem cuidado e às vezes um método modificado.

Resposta

0

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