- Use Newton para resolver a equação
iniciando com
. Verifique se o método converge.
Passo 1
O enunciado pede para usar o método de Newton para resolver a equação
começando em
. Devemos executar as iterações de Newton até observar convergência e verificar (justificar) se o método converge para a raiz. As informações relevantes dadas são:
Passo 2
O que é o método de Newton e qual a fórmula que vamos usar.
Seja uma função diferenciável. O método de Newton gera uma sequência
por
Seja
Interpretação rápida e didática: em cada iteração aproximamos
por sua reta tangente em
e tomamos a interseção dessa reta com o eixo
como próxima aproximação. Nesta fórmula:
-
é a aproximação atual; -
é o valor da função no ponto atual; -
é a derivada (a inclinação da reta tangente) no ponto atual; -
é a nova aproximação.
Importante para a convergência: se
é duas vezes diferenciável numa vizinhança da raiz
e
, então Newton converge localmente e com taxa quadrática (isto significa que o erro é aproximadamente ao quadrado a cada iteração, quando estamos suficientemente perto da raiz). Vou usar esse fato depois para justificar a convergência para o nosso problema.
Passo 3
Aplicando ao nosso problema: definimos
Derivando,
Observações didáticas:
-
mede quanto difere de ; -
mede a inclinação de em cada ponto; - Ambas as funções são infinitamente diferenciáveis (pois envolvem exponencial e polinômio), portanto satisfazem as hipóteses de regularidade que precisamos.
A fórmula de Newton para este
fica
Passo 4
Executando as iterações a partir de
. Vou mostrar passo a passo os cálculos principais (usando aproximações decimais quando necessário).
-
:
Logo
-
:
-
:
-
:
Paracalculamos
-
:
Paracalculamos (aprox.)
Repare que as aproximações já estão muito próximas entre si; com mais iterações os dígitos estabilizam. Usando mais precisão nas contas (ou uma calculadora), a raiz fica aproximadamente
Passo 5
Verificação teórica da convergência (por que o método converge aqui).
-
é (infinitamente diferenciável) em toda parte. - Se
é uma raiz de (isto é, ), então . Para a raiz positiva que encontramos, é aproximadamente , logo (é negativo). Assim a condição está garantida. - Uma observação útil sobre a função de iteração de Newton
: sua derivada é
Em particular, em uma raiz
temos
, portanto
. Esse fato é a explicação do porquê Newton tem convergência quadrática local: a derivada da função iterativa vale zero na raiz, tornando a aproximação muito eficiente quando suficientemente perto. Assim, com
(que não está longe) as iterações aproximam-se rapidamente da raiz e o método converge. Numericamente vimos que
se estabiliza em torno de
.
Passo 6
Comentário prático e incentivo: começando em
o método de Newton atinge, em poucas iterações, uma aproximação com muitos dígitos corretos (isto é típico da convergência quadrática). Se precisar de uma precisão específica (por exemplo,
), basta iterar até que
.