A função f(x)=\frac{(4 x-7)}{(x-2)} se anula em x=\frac{7}{4}. Calule as iterações do método de Newton partindo das aproximações iniciais:
a) x_{0}=1.625

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{4x-7}{x-2}
que se anula em x^*=\frac{7}{4}=1{,}75. Pede-se aplicar o método de Newton partindo de x_0=1{,}625. O conteúdo é o método de Newton para encontrar raízes de funções, que usa a fórmula
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Passo 2

Calculamos a derivada de f por quociente:
f'(x) =\frac{4\,(x-2)-(4x-7)\cdot1}{(x-2)^2} =\frac{4x-8-4x+7}{(x-2)^2} =-\frac{1}{(x-2)^2}.
Substituindo em Newton:
x_{n+1} =x_n-\frac{\displaystyle\frac{4x_n-7}{x_n-2}}{-1/(x_n-2)^2} =x_n+\bigl(4x_n-7\bigr)\,(x_n-2).
Expandindo, obtemos a iteração simples
x_{n+1}=4x_n^2-14x_n+14.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula obtida a partir de x_0=1{,}625.

Passo 4

Cálculo das primeiras iterações:
\begin{aligned} x_1&=4\,(1{,}625)^2-14\,(1{,}625)+14=1{,}8125,\\\ x_2&=4\,(1{,}8125)^2-14\,(1{,}8125)+14=1{,}765625,\\\ x_3&=4\,(1{,}765625)^2-14\,(1{,}765625)+14\approx1{,}7568359375,\\\ x_4&=4\,(1{,}7568359375)^2-14\,(1{,}7568359375)+14\approx1{,}750187873. \end{aligned}
Observa-se convergência rápida para 1{,}75.

Resposta

x_{1} =1,8125 x_{2} =1,765625 x_{3} \approx 1,7568359375 x_{4} \approx 1,750187873

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