Mostre que:
\mathrm{ER}_{x / y} \approx \mathrm{ER}_{x}-\mathrm{ER}_{y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a propagação do erro relativo na divisão de duas grandezas x e y satisfaz
\mathrm{ER}_{x/y}\approx\mathrm{ER}_{x}-\mathrm{ER}_{y}.
O conteúdo envolvido é a análise de erros (propagação de erros) usando aproximação linear (primeira ordem).

Passo 2

Modelamos as medidas de x e y incluindo seus erros relativos pequenos \epsilon_x e \epsilon_y:
\tilde x = x\,(1+\epsilon_x), \qquad \tilde y = y\,(1+\epsilon_y).
Por definição,
\mathrm{ER}_x=\epsilon_x, \qquad \mathrm{ER}_y=\epsilon_y.

Passo 3

Calculamos a razão medida \tilde z=\tilde x/\tilde y:
\frac{\tilde x}{\tilde y} =\frac{x\,(1+\epsilon_x)}{y\,(1+\epsilon_y)} =\frac{x}{y}\,\frac{1+\epsilon_x}{1+\epsilon_y}.
Para erros pequenos usamos a expansão em série de Taylor (primeira ordem):
\frac{1}{1+\epsilon_y}\approx 1-\epsilon_y.
Então
\frac{\tilde x}{\tilde y} \approx \frac{x}{y}\,(1+\epsilon_x)\,(1-\epsilon_y) \approx \frac{x}{y}\,\bigl(1+\epsilon_x-\epsilon_y\bigr).

Passo 4

O erro relativo da razão é
\mathrm{ER}_{x/y} =\frac{\tilde z-\frac{x}{y}}{\frac{x}{y}} \approx \epsilon_x-\epsilon_y =\mathrm{ER}_x-\mathrm{ER}_y.

Resposta

\mathrm{ER}_{x/y}\approx\mathrm{ER}_x-\mathrm{ER}_y.

Exercícios relacionados