1. Descreva o algoritmo para cálculo de raiz cúbica de um número x, usando o Método de Newton.

Passo 1

O enunciado pede um algoritmo para aproximar \sqrt[3]{x} usando o Método de Newton, que é um procedimento de busca de raiz para funções de variável real. Aqui o conteúdo é “métodos numéricos” e, em particular, “Método de Newton para achar raízes”.

Passo 2

Definimos a função cujo zero corresponde à raiz cúbica desejada:
f(y) = y^3 - x.
Calculamos sua derivada:
f'(y) = 3y^2.
Aplicando a fórmula de Newton,
y_{n+1} = y_n - \frac{f(y_n)}{f'(y_n)} = y_n - \frac{y_n^3 - x}{3y_n^2} = \frac{2\,y_n + \dfrac{x}{y_n^2}}{3}.

Passo 3

Escolhemos um palpite inicial y_0. Uma escolha comum é
y_0 = \begin{cases} x, & \text{se }x\ge1,\\\\ 1, & \text{se }0<x<1,\text{ ou mesmo }y_0=1\text{ para qualquer }x>0. \end{cases}

Passo 4

Definimos um critério de parada, por exemplo:
\bigl|y_{n+1} - y_n\bigr| < \varepsilon
para uma tolerância \varepsilon pequena (por exemplo \varepsilon=10^{-8}), ou até atingir um número máximo de iterações N_{\max}.

Passo 5

Colocando tudo em pseudocódigo:
\begin{aligned} &\text{Entrada: }x>0,\;\varepsilon>0,\;N_{\max}\\\ &y \leftarrow y_0\quad\bigl(\text{palpite inicial}\bigr)\\\ &\text{para }k=1\text{ até }N_{\max}\text{ faça}\\\ &\quad y_{\text{novo}} \leftarrow \frac{2\,y + x/y^2}{3}\\\ &\quad \text{se }|\,y_{\text{novo}} - y\,| < \varepsilon\text{ então}\\\ &\quad\quad \text{retorne }y_{\text{novo}}\\\ &\quad \text{fim se}\\\ &\quad y \leftarrow y_{\text{novo}}\\\ &\text{fim para}\\\ &\text{retorne }y\quad\bigl(\text{melhor aproximação}\bigr) \end{aligned}éçãçã

Resposta

Um algoritmo em estilo informal:
  1. Recebe x>0, tolerância \varepsilon e máximo de iterações N_{\max}.
  2. Inicializa y com um palpite y_0 (por exemplo y_0 = \max\{1,x\}).
  3. Itera até N_{\max}:
  • Atualiza
y \leftarrow \frac{2\,y + x/y^2}{3}.
  • Se \bigl|y_{\text{novo}}-y\bigr|<\varepsilon, interrompe e retorna y.
  1. Se não convergir no limite, retorna a última y.

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