| q10 | Considere o sistema de equações lineares da forma A x=b, onde a matriz A possui a seguinte estrutura: A(1,:)=[-6,0,1,2], A(2,:)=[1,11,1,-7], A(3,:)=[-3,1,-8,1] e A(4,:)=[-5,3,1,10]. Utilize o método de Gauss-Seidel e determine a aproximação para x2-x3 obtida após 4 iterações do método partindo da aproximação inicial x=[1 ; 1 ; 1 ; 1] quando b=[-2 ;-1 ; 1 ; 2]. |

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema Ax=b de 4 equações e 4 incógnitas, com
A= -6 & 0 & 1 & 2 1 & 11 & 1 & -7 -3 & 1 & -8 & 1 -5 & 3 & 1 & 10 , b=-2-112
e queremos usar o método iterativo de Gauss–Seidel, começando de x^(0)=(1,1,1,1)^T, para aproximar x2-x3 depois de 4 iterações.
Conteúdo: métodos iterativos para sistemas lineares (Gauss–Seidel).
Vamos precisar:
  • Isolar cada variável em função das outras.
  • Atualizar as componentes de x sequencialmente, usando sempre o valor mais recente (Gauss–Seidel).

Passo 2

A ideia do Gauss–Seidel é, a cada iteração kto k+1, fazer:
  1. Isolar x1:;-6x1 + x3 + 2x4 = -2;Longrightarrow;x1^(k+1)=2 + x3^(k) +2x4^(k)6
  2. Com o x1^(k+1) novo, isolar x2:;x1 +11x2 + x3 -7x4=-1;Longrightarrow;x2^(k+1)=-1 -x1^(k+1) -x3^(k) +7x4^(k)11
  3. Depois x3:;-3x1 + x2 -8x3 + x4=1;Longrightarrow;x3^(k+1)=-1 -3x1^(k+1) + x2^(k+1) + x4^(k)8
  4. E por fim x4:;-5x1 +3x2 + x3 +10x4=2;Longrightarrow;x4^(k+1)=2 +5x1^(k+1) -3x2^(k+1) -x3^(k+1)10

Passo 3

Iteração 1 ( k=0to1), usando x^(0)=(1,1,1,1):
x1^(1)=2+1+2cdot16=0.8333333,
x2^(1)=-1-0.8333-1+7cdot111=0.3787879,
x3^(1)=-1-3cdot0.8333+0.3788+18=-0.2651515,
x4^(1)=2+5cdot0.8333-3cdot0.3788-(-0.2652)10=0.5295455

Passo 4

Iteração 2 ( k=1to2):
x1^(2)=2+(-0.2652)+2cdot0.52956=0.4656566,
x2^(2)=-1-0.4657-(-0.2652)+7cdot0.529511=0.2278467,
x3^(2)=-1-3cdot0.4657+0.2278+0.52958=-0.2049472,
x4^(2)=2+5cdot0.4657-3cdot0.2278-(-0.2049)10=0.3849690

Passo 5

Iteração 3 ( k=2to3):
x1^(3)=2+(-0.2049)+2cdot0.38506=0.4274985,
x2^(3)=-1-0.4275-(-0.2049)+7cdot0.385011=0.1338392,
x3^(3)=-1-3cdot0.4275+0.1338+0.38508=-0.2204609,
x4^(3)=2+5cdot0.4275-3cdot0.1338-(-0.2205)10=0.3956436

Passo 6

Iteração 4 ( k=3to4):
x1^(4)=2+(-0.2205)+2cdot0.39566=0.4284711,
x2^(4)=-1-0.4285-(-0.2205)+7cdot0.395611=0.1428632,
x3^(4)=-1-3cdot0.4285+0.1429+0.39568=-0.2183633,
x4^(4)=2+5cdot0.4285-3cdot0.1429-(-0.2184)10=0.3932129

Resposta

Aproximação de x2 - x3approx 0.1428632 - (-0.2183633)=0.3612265(após 4 iterações)óçõ

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