A função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{x})+\cos (\mathrm{x}) é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo \varepsilon=0,002 :
[4: 6]

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • A função dada é \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{x})+\cos(\mathrm{x}).
  • O intervalo onde devemos buscar o zero é [4:6].
  • A tolerância (critério de parada) é \varepsilon=0,002.
  • A resposta deve ser dada em radianos.
O pedido é: determinar um valor x\in[4,6] tal que \mathrm{f}(x)=0 usando o método da posição falsa modificada (FPM), parando quando o valor da função no candidato da raiz satisfizer |\mathrm{f}(x)|\le\varepsilon.

Passo 2

Explicação didática do método da posição falsa modificada (FPM) — passo a passo conceitual:
  • O método da posição falsa (regula falsi) constrói, em cada iteração, uma secante entre os pontos de extremos do intervalo [a,b] e toma sua interseção com o eixo x como novo ponto candidato x_r. A fórmula (em forma prática) é
x_r = \frac{a\,\mathrm{f}(b)-b\,\mathrm{f}(a)}{\mathrm{f}(b)-\mathrm{f}(a)}.
  • Depois avalia-se \mathrm{f}(x_r). Se \mathrm{f}(a) e \mathrm{f}(x_r) têm sinais opostos, a raiz está em [a,x_r] e define-se b\leftarrow x_r. Caso contrário (sinais opostos em x_r e b), define-se a\leftarrow x_r.
  • O problema clássico da regula falsi é que um dos extremos pode ficar “preso” sem ser movido e a convergência ficar lenta. A versão modificada (Illinois / FPM comum) corrige isto: quando o mesmo extremo é substituído duas vezes consecutivas, reduz-se o valor da função nesse extremo (por exemplo, divide-se por 2) para forçar que a secante se mova mais. Na prática controlamos se houve substituição consecutiva do mesmo lado e aplicamos o fator 1/2 ao valor de \mathrm{f} desse extremo antes da próxima fórmula.
  • Critério de parada escolhido (prático e pedido): parar quando |\mathrm{f}(x_r)|\le\varepsilon. Isso garante que o valor da função no candidato da raiz já é suficientemente pequeno.
Variáveis e o que significam:
  • a e b: extremos do intervalo corrente (iniciam em a=4, b=6).
  • \mathrm{f}(a),\mathrm{f}(b): valores da função nesses extremos.
  • x_r: candidato à raiz calculado pela fórmula acima.
  • \varepsilon: tolerância dada ( 0,002).
Agora vamos aplicar isso numericamente, explicando cada cálculo.

Passo 3

Avaliação inicial de \mathrm{f} nos extremos (pegar estes números diretamente da função):
\mathrm{f}(4)=\operatorname{sen}(4)+\cos(4)\approx -0,756802495 + (-0,653643621)= -1,410446116.
\mathrm{f}(6)=\operatorname{sen}(6)+\cos(6)\approx -0,279415498 + 0,960170287= 0,680754789.
Observação: como \mathrm{f}(4)<0 e \mathrm{f}(6)>0, existe pelo menos uma raiz em [4,6] (teorema do valor intermediário). Vamos aplicar a FPM.

Passo 4

Iteração 1:
  • a=4, b=6, \mathrm{f}(a)=-1,410446116, \mathrm{f}(b)=0,680754789.
  • Calcula-se o novo ponto x_1 pela fórmula da secante (posição falsa):
x_1=\frac{4\cdot\mathrm{f}(6)-6\cdot\mathrm{f}(4)}{\mathrm{f}(6)-\mathrm{f}(4)} =\frac{4\cdot 0,680754789 - 6\cdot(-1,410446116)}{0,680754789-(-1,410446116)} \approx 5,348913770.
  • Avaliando a função em x_1: como x_1 é negativo em relação a 2\pi ( x_1-2\pi\approx -0,93427), obtemos
\mathrm{f}(x_1)=\operatorname{sen}(5,348913770)+\cos(5,348913770)\approx -0,80430 + 0,59525 = -0,20905.
  • Como \mathrm{f}(x_1) tem sinal negativo (mesmo sinal de \mathrm{f}(a)), a raiz está no subintervalo [x_1,b]. Atualizamos:
a \leftarrow x_1 \approx 5,348913770,\qquad \mathrm{f}(a)\approx -0,20905.
  • Nota sobre FPM-modificada: este foi o primeiro ajuste do lado a, portanto nenhuma modificação (halving) é aplicada ainda.

Passo 5

Iteração 2:
  • Agora a\approx 5,348913770 com \mathrm{f}(a)\approx -0,20905, e b=6 com \mathrm{f}(b)=0,680754789.
  • Calcula-se
x_2=\frac{a\cdot\mathrm{f}(b)-b\cdot\mathrm{f}(a)}{\mathrm{f}(b)-\mathrm{f}(a)}
ou, mais prático,
x_2 = b - \mathrm{f}(b)\frac{b-a}{\mathrm{f}(b)-\mathrm{f}(a)}.
Substituindo os números:
x_2 \approx 6 - 0,680754789\cdot\frac{6-5,348913770}{0,680754789-(-0,20905)} \approx 5,501549.
  • Avaliando a função em x_2 (observando que x_2-2\pi\approx -0,781636, próximo de -\pi/4):
\mathrm{f}(x_2)=\operatorname{sen}(5,501549)+\cos(5,501549)\approx 0,005318.
  • Agora \mathrm{f}(x_2)>0 (mesmo sinal de \mathrm{f}(b)), então a raiz está em [a,x_2]. Atualizamos
b \leftarrow x_2 \approx 5,501549,\qquad \mathrm{f}(b)\approx 0,005318.
  • Observação sobre a modificação: até agora cada extremo foi substituído apenas uma vez (primeiro a, agora b), portanto não é necessário aplicar o fator de correção (halve) em nenhum valor de \mathrm{f}.

Passo 6

Iteração 3:
  • Temos a\approx 5,348913770 com \mathrm{f}(a)\approx -0,20905 e b\approx 5,501549 com \mathrm{f}(b)\approx 0,005318.
  • Calcula-se o novo x_3 pela mesma fórmula:
x_3 \approx b - \mathrm{f}(b)\frac{b-a}{\mathrm{f}(b)-\mathrm{f}(a)} \approx 5,497763.
  • Avaliando a função em x_3. Note que x_3-2\pi\approx -0,785422, ou seja muito próximo de -\pi/4. Calcula-se
\mathrm{f}(x_3)=\operatorname{sen}(5,497763)+\cos(5,497763)\approx -0,000034.
  • Verificação do critério de parada: |\mathrm{f}(x_3)|\approx 3{,}4\times 10^{-5} < \varepsilon=0,002. Portanto podemos parar: x_3 é uma boa aproximação do zero pedida.
  • Observação final sobre a modificação: não foi necessário aplicar o “halving” em nenhum passo, porque não houve substituição duas vezes consecutivas do mesmo extremo. Mesmo assim, mostrei como e quando isso seria usado.

Resposta

x \approx 5,497763

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