A função
é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo
:
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- A função dada é
. - O intervalo onde devemos buscar o zero é
. - A tolerância (critério de parada) é
. - A resposta deve ser dada em radianos.
O pedido é: determinar um valor
tal que
usando o método da posição falsa modificada (FPM), parando quando o valor da função no candidato da raiz satisfizer
.
Passo 2
Explicação didática do método da posição falsa modificada (FPM) — passo a passo conceitual:
- O método da posição falsa (regula falsi) constrói, em cada iteração, uma secante entre os pontos de extremos do intervalo
e toma sua interseção com o eixo como novo ponto candidato . A fórmula (em forma prática) é
- Depois avalia-se
. Se e têm sinais opostos, a raiz está em e define-se . Caso contrário (sinais opostos em e ), define-se . - O problema clássico da regula falsi é que um dos extremos pode ficar “preso” sem ser movido e a convergência ficar lenta. A versão modificada (Illinois / FPM comum) corrige isto: quando o mesmo extremo é substituído duas vezes consecutivas, reduz-se o valor da função nesse extremo (por exemplo, divide-se por
) para forçar que a secante se mova mais. Na prática controlamos se houve substituição consecutiva do mesmo lado e aplicamos o fator ao valor de desse extremo antes da próxima fórmula. - Critério de parada escolhido (prático e pedido): parar quando
. Isso garante que o valor da função no candidato da raiz já é suficientemente pequeno.
Variáveis e o que significam:
-
e : extremos do intervalo corrente (iniciam em , ). -
: valores da função nesses extremos. -
: candidato à raiz calculado pela fórmula acima. -
: tolerância dada ( ).
Agora vamos aplicar isso numericamente, explicando cada cálculo.
Passo 3
Avaliação inicial de
nos extremos (pegar estes números diretamente da função):
Observação: como
e
, existe pelo menos uma raiz em
(teorema do valor intermediário). Vamos aplicar a FPM.
Passo 4
Iteração 1:
-
, , , . - Calcula-se o novo ponto
pela fórmula da secante (posição falsa):
- Avaliando a função em
: como é negativo em relação a ( ), obtemos
- Como
tem sinal negativo (mesmo sinal de ), a raiz está no subintervalo . Atualizamos:
- Nota sobre FPM-modificada: este foi o primeiro ajuste do lado
, portanto nenhuma modificação (halving) é aplicada ainda.
Passo 5
Iteração 2:
- Agora
com , e com . - Calcula-se
ou, mais prático,
Substituindo os números:
- Avaliando a função em
(observando que , próximo de ):
- Agora
(mesmo sinal de ), então a raiz está em . Atualizamos
- Observação sobre a modificação: até agora cada extremo foi substituído apenas uma vez (primeiro
, agora ), portanto não é necessário aplicar o fator de correção (halve) em nenhum valor de .
Passo 6
Iteração 3:
- Temos
com e com . - Calcula-se o novo
pela mesma fórmula:
- Avaliando a função em
. Note que , ou seja muito próximo de . Calcula-se
- Verificação do critério de parada:
. Portanto podemos parar: é uma boa aproximação do zero pedida. - Observação final sobre a modificação: não foi necessário aplicar o “halving” em nenhum passo, porque não houve substituição duas vezes consecutivas do mesmo extremo. Mesmo assim, mostrei como e quando isso seria usado.