A função
é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo
:
[16:20]
[16:20]
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
(resultados em radianos). - Intervalo fechado onde buscar a raiz:
. - Método pedido: método da posição falsa modificada (FPM, variante “Illinois”).
- Critério de parada:
.
O que se pede: encontrar um zero (uma aproximação da raiz) de
no intervalo
usando o FPM e parar quando a aproximação satisfizer o critério
.
Passo 2
Explicação do método (passo a passo e fórmulas).
- A posição falsa clássica (regula falsi) constrói, em cada iteração, a interseção da reta que liga
e com o eixo . Essa interseção é a fórmula
Aqui
e
são as extremidades atuais do intervalo que contém a raiz, e
,
são os valores da função nessas extremidades.
- Depois de calcular
, avalia-se . Se a raiz foi encontrada; se não, verifica-se o sinal de : - se
, a nova aproximação mantém como intervalo (ou seja, ); - se
, mantém-se (ou seja, ).
- se
- Problema da regula falsi: às vezes uma das extremidades não se move por muitas iterações (convergência lenta). A variante Illinois (FPM) corrige isso multiplicando por
o valor de na extremidade que permaneceu inalterada em duas iterações consecutivas. Implementação prática que usaremos: - Guardar qual extremidade foi substituída na última iteração.
- Se na iteração atual a mesma extremidade continuar sem se mover (ou seja, o mesmo ponto é substituído duas vezes seguidas), então dividir por
o valor de na extremidade que permaneceu parada (isto é, substituir esse por ) antes de calcular a próxima raiz aproximada.
- Critério de parada que usarei aqui (escolha comum e adequada): parar quando
. Isto significa que a imagem da aproximação é suficientemente próxima de zero. (Também poderia usar diferença entre aproximações sucessivas, mas o enunciado deu sem especificar, então usarei .)
Vou aplicar isso iterativamente, mostrando os cálculos numéricos em cada passo.
Passo 3
Verificar que o intervalo inicial contém raiz (sinal oposto nas extremidades).
- Calcular
. Primeiro reduzir o ângulo para facilitar cálculos: Como , tem-se Aproximações (séries de Taylor / valores numéricos): Logo - Calcular
. Reduzir o ângulo: Aproximações: Logo - Conclusão:
e , sinais opostos, portanto existe pelo menos uma raiz em . Podemos aplicar FPM.
Passo 4
Iteração 1 (início,
,
).
- Valores iniciais:
- Calcular
com a fórmula da posição falsa: Cálculos intermédios:
Portanto
- Avaliar
. Reduzir o ângulo: Note que , então Calculando: Logo - Atualização de intervalo: como
é negativo (mesmo sinal que ), a raiz está entre e . Assim: - Observação FPM: a extremidade
ficou inalterada nesta iteração (não houve necessidade de dividir nenhum por ainda).
Passo 5
Iteração 2 (
,
).
- Calcular
Intermédios:
Logo
- Avaliar
. Reduzir: Assim Logo - Atualização do intervalo: agora
e , então a raiz está em . Atualiza-se: - Observação FPM: agora a extremidade
ficou inalterada (cabulou-se a outra extremidade), e como na iteração anterior quem ficou inalterado foi , não houve duas iterações consecutivas com a mesma extremidade parada — portanto, não aplicamos ainda o fator .
Passo 6
Iteração 3 (
;
).
- Calcular
Intermédios:
Então
- Avaliar
. Reduzir: Logo Portanto - Verificar critério:
. O critério de parada foi satisfeito, por isso podemos aceitar como a aproximação da raiz pelo método FPM (variante Illinois).
Passo 7
Interpretação e conclusão final (curto reforço didático e motivacional).
- Obtivemos a aproximação da raiz em 3 iterações do FPM modificado (Illinois).
- Observação prática: a ideia da modificação (dividir por
o da extremidade que não se move) é forçar a reta secante a deslocar-se mais, evitando que um extremo fique “preso” e a convergência seja muito lenta. Neste problema não foi necessário aplicar o fator explicitamente porque o método já convergiu rapidamente. - Você pode usar o mesmo procedimento em prova: calcular
com a fórmula, avaliar , trocar o extremo adequado e — se o mesmo extremo ficar parado por duas iterações — dividir o valor de do extremo parado por antes da próxima iteração.