A função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{x})+\cos (\mathrm{x}) é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo \varepsilon=0,002 :
[16:20]

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função \;f(x)=\sin(x)+\cos(x)\; (resultados em radianos).
  • Intervalo fechado onde buscar a raiz: \;[16,20]\;.
  • Método pedido: método da posição falsa modificada (FPM, variante “Illinois”).
  • Critério de parada: \varepsilon=0,002.
O que se pede: encontrar um zero (uma aproximação da raiz) de f no intervalo [16,20] usando o FPM e parar quando a aproximação satisfizer o critério \varepsilon.

Passo 2

Explicação do método (passo a passo e fórmulas).
  • A posição falsa clássica (regula falsi) constrói, em cada iteração, a interseção da reta que liga (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x. Essa interseção é a fórmula
x_r \;=\; b - f(b)\,\frac{b-a}{\,f(b)-f(a)\,}.
Aqui \;a e \;b são as extremidades atuais do intervalo que contém a raiz, e f(a), f(b) são os valores da função nessas extremidades.
  • Depois de calcular \;x_r, avalia-se f(x_r). Se f(x_r)=0 a raiz foi encontrada; se não, verifica-se o sinal de f(x_r):
    • se f(a)\cdot f(x_r)<0, a nova aproximação mantém [a,x_r] como intervalo (ou seja, b\leftarrow x_r);
    • se f(b)\cdot f(x_r)<0, mantém-se [x_r,b] (ou seja, a\leftarrow x_r).
  • Problema da regula falsi: às vezes uma das extremidades não se move por muitas iterações (convergência lenta). A variante Illinois (FPM) corrige isso multiplicando por 1/2 o valor de f na extremidade que permaneceu inalterada em duas iterações consecutivas. Implementação prática que usaremos:
    • Guardar qual extremidade foi substituída na última iteração.
    • Se na iteração atual a mesma extremidade continuar sem se mover (ou seja, o mesmo ponto é substituído duas vezes seguidas), então dividir por 2 o valor de f na extremidade que permaneceu parada (isto é, substituir esse f por f/2) antes de calcular a próxima raiz aproximada.
  • Critério de parada que usarei aqui (escolha comum e adequada): parar quando |f(x_r)|\le \varepsilon. Isto significa que a imagem da aproximação é suficientemente próxima de zero. (Também poderia usar diferença entre aproximações sucessivas, mas o enunciado deu \varepsilon sem especificar, então usarei |f(x_r)|\le\varepsilon.)
Vou aplicar isso iterativamente, mostrando os cálculos numéricos em cada passo.

Passo 3

Verificar que o intervalo inicial contém raiz (sinal oposto nas extremidades).
  • Calcular f(16). Primeiro reduzir o ângulo para facilitar cálculos: 16 - 2\pi\cdot 2 = 16 - 12,5663706 = 3,4336294.Como 3,4336294=\pi+0,2920368, tem-se \sin(16)=\sin(\pi+0,2920368)=-\sin(0,2920368), \qquad \cos(16)=\cos(\pi+0,2920368)=-\cos(0,2920368).Aproximações (séries de Taylor / valores numéricos): \sin(0,2920368)\approx 0,287905, \qquad \cos(0,2920368)\approx 0,957660.Logo f(16)=\sin(16)+\cos(16)\approx -0,287905 -0,957660 = -1,245565.
  • Calcular f(20). Reduzir o ângulo: 20 - 2\pi\cdot 3 = 20 - 18,849556 = 1,150444.Aproximações: \sin(1,150444)\approx 0,913720, \qquad \cos(1,150444)\approx 0,407992.Logo f(20)\approx 0,913720 + 0,407992 = 1,321712.
  • Conclusão: \;f(16)\approx -1,245565 e \;f(20)\approx 1,321712, sinais opostos, portanto existe pelo menos uma raiz em [16,20]. Podemos aplicar FPM.

Passo 4

Iteração 1 (início, a_0=16, b_0=20).
  • Valores iniciais: a=16,\quad b=20,\quad f(a)\approx -1,245565,\quad f(b)\approx 1,321712.
  • Calcular x_r com a fórmula da posição falsa: x_r = b - f(b)\frac{b-a}{f(b)-f(a)} = 20 - 1,321712\cdot\frac{20-16}{1,321712-(-1,245565)}.Cálculos intermédios: b-a=4,\qquad f(b)-f(a)=1,321712+1,245565=2,567277,
\text{numerador}=f(b)(b-a)=1,321712\cdot 4=5,286848,
\frac{\text{numerador}}{f(b)-f(a)}\approx \frac{5,286848}{2,567277}\approx 2,05934.
Portanto
x_{r1}\approx 20 - 2,05934 = 17,94066.
  • Avaliar f(x_{r1}). Reduzir o ângulo: 17,94066 - 2\pi\cdot 2 = 17,94066 - 12,5663706 = 5,3742894.Note que 5,3742894 = 2\pi - 0,908896, então \sin(5,3742894) = -\sin(0,908896),\qquad \cos(5,3742894)=\cos(0,908896).Calculando: \sin(0,908896)\approx 0,788909,\qquad \cos(0,908896)\approx 0,614611.Logo f(17,94066)\approx -0,788909 + 0,614611 = -0,174298.
  • Atualização de intervalo: como f(17,94066) é negativo (mesmo sinal que f(16)), a raiz está entre 17,94066 e 20. Assim: a \leftarrow 17,94066,\quad f(a)\leftarrow -0,174298,\quad b=20,\\ f(b)=1,321712.
  • Observação FPM: a extremidade b ficou inalterada nesta iteração (não houve necessidade de dividir nenhum f por 2 ainda).

Passo 5

Iteração 2 ( a=17,94066, b=20).
  • Calcular x_r = 20 - 1,321712\cdot\frac{20-17,94066}{1,321712 - (-0,174298)}.Intermédios: b-a=2,05934,\qquad f(b)-f(a)=1,321712+0,174298=1,496010,
\text{numerador}=1,321712\cdot 2,05934 \approx 2,721871,
\frac{\text{numerador}}{f(b)-f(a)}\approx \frac{2,721871}{1,496010}\approx 1,82060.
Logo
x_{r2}\approx 20 - 1,82060 = 18,17940.
  • Avaliar f(x_{r2}). Reduzir: 18,17940 - 2\pi\cdot 2 = 5,6130294 = 2\pi - 0,670156.Assim \sin(5,6130294)=-\sin(0,670156)\approx -0,621170,\qquad \cos(5,6130294)=\cos(0,670156)\approx 0,784111.Logo f(18,17940)\approx -0,621170 + 0,784111 = 0,162941.
  • Atualização do intervalo: agora f(x_{r2})>0 e f(a)<0, então a raiz está em [a,x_{r2}]. Atualiza-se: b \leftarrow 18,17940,\quad f(b)\leftarrow 0,162941,\quad a=17,94066,\\ f(a)=-0,174298.
  • Observação FPM: agora a extremidade a ficou inalterada (cabulou-se a outra extremidade), e como na iteração anterior quem ficou inalterado foi b, não houve duas iterações consecutivas com a mesma extremidade parada — portanto, não aplicamos ainda o fator 1/2.

Passo 6

Iteração 3 ( a=17,94066,\\ f(a)=-0,174298; b=18,17940,\\ f(b)=0,162941).
  • Calcular x_r = b - f(b)\frac{b-a}{f(b)-f(a)} = 18,17940 - 0,162941\cdot\frac{18,17940-17,94066}{0,162941 - (-0,174298)}.Intermédios: b-a=0,23874,\qquad f(b)-f(a)=0,162941+0,174298=0,337239,
\text{numerador}=0,162941\cdot 0,23874 \approx 0,038928,
\frac{\text{numerador}}{f(b)-f(a)}\approx \frac{0,038928}{0,337239}\approx 0,11532.
Então
x_{r3}\approx 18,17940 - 0,11532 = 18,06408.
  • Avaliar f(x_{r3}). Reduzir: 18,06408 - 2\pi\cdot 2 = 5,4977094 = 2\pi - 0,785476 \quad(\text{o que é muito próximo de } \pi/4).éóLogo \sin(5,4977094)=-\sin(0,785476)\approx -0,7071624, \qquad \cos(5,4977094)=\cos(0,785476)\approx 0,7070512.Portanto f(18,06408)\approx -0,7071624 + 0,7070512 = -0,0001112.
  • Verificar critério: |f(18,06408)|\approx 0,0001112 \le 0,002. O critério de parada foi satisfeito, por isso podemos aceitar x_{r3} como a aproximação da raiz pelo método FPM (variante Illinois).

Passo 7

Interpretação e conclusão final (curto reforço didático e motivacional).
  • Obtivemos a aproximação da raiz em 3 iterações do FPM modificado (Illinois).
  • Observação prática: a ideia da modificação (dividir por 2 o f da extremidade que não se move) é forçar a reta secante a deslocar-se mais, evitando que um extremo fique “preso” e a convergência seja muito lenta. Neste problema não foi necessário aplicar o fator 1/2 explicitamente porque o método já convergiu rapidamente.
  • Você pode usar o mesmo procedimento em prova: calcular x_r com a fórmula, avaliar f(x_r), trocar o extremo adequado e — se o mesmo extremo ficar parado por duas iterações — dividir o valor de f do extremo parado por 2 antes da próxima iteração.

Resposta

x\approx 18,06408

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